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五、十字相乘法
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十字相乘法又叫十字分解法。簡單來講就是：十字左邊相乘等于二次項系數，右邊相乘等于常數項，交叉相乘再相加等于一次項。其實就是運用乘法公式（x a）（x b）=x2 （a b）x ab的逆運算來進行因式分解。
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十字分解法能用于二次三項式的分解因式（不一定是整數范圍內）。對于像ax2 bx c=（a1x c1）（a2x c2）這樣的整式來說，這個方法的關鍵是把二次項系數a分解成兩個因數a1、a2的積a1?a2，把常數項c分解成兩個因數c1、c2的積c1?c2，并使a1c2 a2c1正好等于一次項的系數b。那么可以直接寫成結果：ax2 bx c= a1x c1）（a2x c2）。
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在運用這種方法分解因式時，要注意觀察、嘗試，并體會，它的實質是二項式乘法的逆過程。當首項系數不是1時，往往需要多次試驗，務必注意各項系數的符號。
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基本式子：
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x2 （p q）x pq=（x p）（x q）
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例如，把2x2－7x 3分解因式。可以先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數。
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分解二次項系數，只取正因數，因為取負因數的結果與正因數結果相同。
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2=1×2=2×1
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分解常數項：
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3=1×3=3×1=（－3）×（－1）=（－1）×（－3）
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用畫十字交叉線的方法來表示這四種情況：
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經過觀察，第四種情況是正確的，這是因為交叉相乘后，兩項代數和恰等于一次項系數－7。
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所以，2x2－7x 3=（x－3）（2x－1）。
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通常地，對于二次三項式ax2 bx c（a≠0），如果二次項系數a可以分解成兩個因數之積，即a=a1a2，常數項c可以分解成兩個因數之積，即c=c1c2，把a1、a2、c1、c2排列如下：
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按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2 a2c1，若它正好等于二次三項式ax2 bx c的一次項系數b，即a1c2 a2c1=b，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x c1與a2x c2之積，即：
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ax2 bx c=（a1x c1）（a2x c2）
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像這種借助畫十字交叉線分解系數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫作十字分解法。
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1．用十字相乘法做兩位數乘法
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方法：
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（1）用被乘數和乘數的個位上的數字相乘，所得結果的個位數寫在答案的最后一位，十位數作為進位保留。
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（2）交叉相乘，將被乘數個位上的數字與乘數十位上的數字相乘，被乘數十位上的數字與乘數個位上的數字相乘，求和后加上上一步中的進位，把結果的個位寫在答案的十位數字上，十位上的數字作為進位保留。
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（3）用被乘數和乘數的十位上的數字相乘，加上第2步的進位，寫在前兩步所得的結果前面即可。
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推導：
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我們假設兩個數字分別為ab和xy，用豎式進行計算，得到：
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我們可以把這個結果當成一個二位數相乘的公式，這種方法將在你以后的學習中經常用到。見圖1-13。
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圖1-13
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例子：
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（1）計算98×24= 。
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解：
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結果為2352。
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所以 98×24=2352
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（2）計算35×28= 。
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解：
rr
rr
結果為980。
rr
所以 35×28=980
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（3）計算93×57= 。
rr
解：
rr
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結果為5301。
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所以 93×57=5301
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練習：
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（1）計算65×88= 。
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（2）計算35×69= 。
rr
（3）計算65×85= 。
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2．三位數與兩位數相乘
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三位數與兩位數相乘也可以用交叉計算法，只是比兩位數相乘復雜一些而已。
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方法：
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（1）用三位數和兩位數的個位上的數字相乘，所得結果的個位數寫在答案的最后一位，十位數作為進位保留。
rr
（2）交叉相乘1，將三位數個位上的數字與兩位數十位上的數字相乘，三位數十位上的數字與兩位數個位上的數字相乘，求和后加上上一步中的進位，把結果的個位寫在答案的十位數字位置上，十位上的數字作為進位保留。
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（3）交叉相乘2，將三位數十位上的數字與兩位數十位上的數字相乘，三位數百位上的數字與兩位數個位上的數字相乘，求和后加上上一步中…
rr
（4）用三位數百位上的數字和兩位數的十位上的數字相乘，加上上一步的進位，寫在前三步所得的結果前面，即可。
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推導：
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我們假設兩個數字分別為abc和xy，用豎式進行計算，得到：
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我們來對比一下，這個結果與兩位數的交叉相乘有什么區別，你會發現它們的原理是一樣的，只是多了一次交叉計算而已。見圖1-14。
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圖1-14
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例子：
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（1）計算298×24= 。
rr
解：
rr
rr
結果為7152。
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所以 298×24=7152
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（2）計算123×36= 。
rr
解：
rr
rr
結果為4428。
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所以 123×36=4428
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（3）計算548×36= 。
rr
解：
rr
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結果為19728。
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所以 548×36=19728
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練習：
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（1）計算327×35= 。
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（2）計算633×57= 。
rr
（3）計算956×31= 。
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3．四位數與兩位數相乘
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學會了兩位數、三位數與兩位數相乘，那么四位數與兩位數相乘相信也難不倒你了吧。它依然可以用交叉計算法，只是比三位數再復雜一些而已。
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方法：
rr
（1）用四位數和兩位數的個位上的數字相乘，所得結果的個位數寫在答案的最后一位，十位數作為進位保留。
rr
（2）交叉相乘1，將四位數個位上的數字與兩位數十位上的數字相乘，四位數十位上的數字與兩位數個位上的數字相乘，求和后加上上一步中的進位，把結果的個位寫在答案的十位數字位置上，十位上的數字作為進位保留。
rr
（3）交叉相乘2，將四位數十位上的數字與兩位數十位上的數字相乘，四位數百位上的數字與兩位數個位上的數字相乘，求和后加上上一步中的進位，把結果的個位寫在答案的百位數字位置上，十位上的數字作為進位保留。
rr
（4）交叉相乘3，將四位數百位上的數字與兩位數十位上的數字相乘，四位數千位上的數字與兩位數個位上的數字相乘，求和后加上上一步中的進位，把結果的個位寫在答案的千位數字位置上，十位上的數字作為進位保留。
rr
（5）用四位數千位上的數字和兩位數的十位上的數字相乘，加上上一步的進位，寫在前三步所得的結果前面，即可。
rr
推導：
rr
我們假設兩個數字分別為abcd和xy，用豎式進行計算，得到：
rr
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我們來對比一下，這個結果和三位數與兩位數的交叉相乘有什么區別，你會發現它們的原理是一樣的，只是又多了一次交叉計算而已。見圖1-16。
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圖1-16
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例子：
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（1）計算1298×24= 。
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解：
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結果為31152。
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所以 1298×24=31152
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（2）計算2368×19= 。
rr
解：
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rr
結果為44992。
rr
所以 2368×19=44992
rr
（3）計算9548×73= 。
rr
解：
rr
rr
結果為697004。
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所以 9548×73=697004
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擴展閱讀
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類似的，你還可以用這種方法計算五位數、六位數、七位數……與兩位數相乘，只是每多一位數需要多一次交叉計算而已。
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練習：
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（1）計算1524×35= 。
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（2）計算2648×34= 。
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（3）計算1982×28= 。
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4．三位數乘以三位數
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方法：
rr
（1）用被乘數和乘數的個位上的數字相乘，所得結果的個位數寫在答案的最后一位，十位數作為進位保留。
rr
（2）交叉相乘1，將被乘數個位上的數字與乘數十位上的數字相乘，被乘數十位上的數字與乘數個位上的數字相乘，求和后加上上一步中的進位，把結果的個位寫在答案的十位數字位置上，十位上的數字作為進位保留。
rr
（3）交叉相乘2，將被乘數百位上的數字與乘數個位上的數字相乘，被乘數十位上的數字與乘數十位上的數字相乘，被乘數個位上的數字與乘數百位上的數字相乘，求和后加上上一步中的進位，把結果的個位寫在答案的百位數字位置上，十位上的數字作為進位保留。
rr
（4）交叉相乘3，將被乘數百位上的數字與乘數十位上的數字相乘，被乘數十位上的數字與乘數百位上的數字相乘，求和后加上上一步中的進位，把結果的個位寫在答案的千位數字位置上，十位上的數字作為進位保留。
rr
（5）用被乘數百位上的數字和乘數百位上的數字相乘，加上上一步的進位，寫在前三步所得的結果前面，即可。
rr
推導：
rr
我們假設兩個數字分別為abc和xyz，用豎式進行計算，得到：
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見圖1-15。
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圖1-15
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例子：
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（1）計算298×324= 。
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解：
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結果為96552。
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所以 298×324=96552
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（2）計算135×246= 。
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解：
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rr
結果為33210。
rr
所以 135×246=33210
rr
（3）計算568×167= 。
rr
解：
rr
rr
結果為94856。
rr
所以 568×167=94856
rr
練習：
rr
（1）計算265×135= 。
rr
（2）計算563×498= 。
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（3）計算359×468= 。
rr
5．四位數乘以三位數
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方法：
rr
（1）用四位數和三位數的個位上的數字相乘，所得結果的個位數寫在答案的最后一位，十位數作為進位保留。
rr
（2）交叉相乘1，將四位數個位上的數字與三位數十位上的數字相乘，四位數十位上的數字與三位數個位上的數字相乘，求和后加上上一步中的進位，把結果的個位寫在答案的十位數字位置上，十位上的數字作為進位保留。
rr
（3）交叉相乘2，將四位數百位上的數字與三位數個位上的數字相乘，四位數十位上的數字與三位數十位上的數字相乘，四位數個位上的數字與三位數百位上的數字相乘，求和后加上上一步中的進位，把結果的個位寫在答案的百位數字位置上，十位上的數字作為進位保留。
rr
（4）交叉相乘3，將四位數千位上的數字與三位數個位上的數字相乘，四位數百位上的數字與三位數十位上的數字相乘，四位數十位上的數字與三位數百位上的數字相乘，求和后加上上一步中的進位，把結果的個位寫在答案的千位數字位置上，十位上的數字作為進位保留。
rr
（5）交叉相乘4，將四位數千位上的數字與三位數十位上的數字相乘，四位數百位上的數字與三位數百位上的數字相乘，求和后加上上一步中的進位，把結果的個位寫在答案的萬位數字位置上，十位上的數字作為進位保留。
rr
（6）用四位數千位上的數字和三位數百位上的數字相乘，加上上一步的進位，寫在前三步所得的結果前面，即可。
rr
推導：
rr
我們假設兩個數字分別為abcd和xyz，用豎式進行計算，得到：
rr
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見圖1-17。
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圖1-17
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例子：
rr
（1）計算1298×324= 。
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解：
rr
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結果為420552。
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所以 1298×324=420552
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（2）計算1234×246= 。
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解：
rr
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結果為303564。
rr
所以 1234×246=303564
rr
（3）計算5927×652= 。
rr
解：
rr
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結果為3864404。
rr
所以 5927×652=3864404
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擴展閱讀
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類似的，你還可以用這種方法計算五位數、六位數、七位數……與三位數相乘，只是每多一位數需要多一次交叉計算。
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練習：
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（1）計算3824×315= 。
rr
（2）計算3515×168= 。
rr
（3）計算3335×624= 。
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6．二元一次方程的解法
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我們都學習過二元一次方程組，一般的解法是消去某個未知數，然后代入求解。例如下面的問題：
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我們一般的解法是把①式寫成y=5－2x的形式，代入到②式中，消去y，解出x，然后代入解出y。或者將①式等號兩邊同時乘以2，變成4x 2y=10，與②式相減，消去y，解出x，然后代入解出y。
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這兩種方法在x、y的系數比較小的時候用起來比較方便，一旦系數變大，計算起來就會復雜很多。下面介紹一種更簡單的方法。
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方法：
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（1）將方程組寫成的形式。
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（2）將兩個式子中x、y的系數交叉相乘，并相減，所得的數作為分母。
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（3）將兩個式子中x的系數（一般為常數）交叉相乘，并相減，所得的數作為y的分子。
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（4）將兩個式子中常數和y的系數交叉相乘，并相減，所得的數作為x的分母。
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（5）即x=（ce－fb）/（ae－db）；y=（af－dc）/（ae－db）。
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例子：
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（1）
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解：
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首先計算出x、y的系數交叉相乘的差，即3×2－1×1=5。
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再計算出x的系數與常數交叉相乘的差，即3×10－1×10=20。
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最后計算出常數與y的系數交叉相乘的差，即10×2－10×1=10。
rr
這樣，x=10/5=2，y=20/5=4。
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所以結果為：
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（2）
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解：
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首先計算出x、y的系數交叉相乘的差，即2×2－3×1=1。
rr
再計算出x的系數與常數交叉相乘的差，即2×13－3×8=2。
rr
最后計算出常數與y的系數交叉相乘的差，即8×2－13×1 =3。
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這樣，x=3/1=3，y=2/1=2。
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所以結果為：
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（3）
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解：
rr
首先計算出x、y的系數交叉相乘的差，即9×2－7×1=11。
rr
再計算出x的系數與常數交叉相乘的差，即9×1－7×（－5）=44。
rr
最后計算出常數與y的系數交叉相乘的差，即（－5）×2－1×1=－11。
rr
這樣，x=－11/11=－1，y=44/11=4。
rr
所以結果為：
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練習：
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（1）
rr
rr
（2）
rr
rr
（3）
rr
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7．同分子分數的加減法
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方法：
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（1）分子相同，分母互質的兩個分數相加（減）時，它們的結果是用原分母的積作分母，用原分母的和（或差）乘以這相同的分子所得的積作分子。
rr
（2）分子相同，分母不是互質數的兩個分數相加減，也可按上述規律計算，只是最后需要注意把得數約分為最簡分數。
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例子：
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（1）計算。
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解：
rr
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所以
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（2）計算。
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解：
rr
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所以
rr
（3）計算。
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解：
rr
rr
所以
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注意：分數減法要用減數的原分母減去被減數的原分母。
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練習：
rr
（1）計算。
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（2）計算。
rr
（3）計算。
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