對于任意一個圓，其面積S都是等于圓周率π與半徑平方r^2的乘積。或者說，任意一個圓的面積與其半徑平方之比都是相同的常數——圓周率。那么，這個結論是經過數學上的嚴格證明，還是一種數學直覺呢？
事實上，圓面積公式（S=πr^2）在數學上能夠嚴格證明，無論是我國古代的數學家，還是古希臘的數學家，都證明了這個公式。圓面積公式的證明方法有很多種，下面簡單舉幾個例子。

（1）極限法一

如果把一個圓分成n個等份，然后將其拼接成如下的四邊形：

當n趨于無窮大之時，也就是圓分成了無窮多個等份，那么，該四邊形就會變成長方形。顯然，這個長方形的長為半圓周長（πr），寬為圓的半徑（r），該長方形的面積等于圓的面積，所以可得圓面積公式為：S=πr?r=πr^2。

不過，為了完成這樣的證明，首先還需證明圓周長公式（C=2πr）。通過相似三角形原理，用幾何法很容易可以證明圓的周長與直徑之比為相等的常數，該常數即為圓周率。

（2）極限法二

把圓分成n等份，連接每個扇形中半徑與圓的交點。并假設每個扇形的圓心角為2θ，則2θ=2π/n。

考察其中一個三角形OAB，根據三角函數可得，OC=rcosθ，AB=2rsinθ，三角形OAB的面積為：

S△OAB=1/2·AB·OC=r^2sinθcosθ

當n趨于無窮大時，圓的面積可以表示為：

S=lim(n→ ∞)n·S△OAB

根據極限原理，可以算出S=πr^2。

（3）積分法一

嚴格意義上來說，這也是一種極限法，但這里是通過圓的方程（x^2 y^2=r^2）來嚴格計算圓面積：

（4）積分法二

如果把圓分成無數個厚度為dr的薄圓環，那么，每個圓環的面積為2πr·dr，對其進行積分可得：

總之，圓的面積與半徑平方的比值為圓周率是經過嚴格數學證明的，并非經驗公式。