正四面體的截面有哪些情況？三角形、四邊形？n邊形……是否可能出現(xiàn)？下文嘗試一一討論之。
基本結(jié)論
凸多面體的截面是凸多邊形。
所謂凸集就是指集合滿足如下性質(zhì)：對(duì)任意點(diǎn)，則線段 常見的凸集有三角形、平行四邊形、正n邊形、圓、凸多面體、球體，歐氏空間（是平面，是空間）等。
關(guān)于凸集有一個(gè)基本的結(jié)論：凸集的交集仍然是凸集。請(qǐng)讀者利用上述凸集定義自證。凸集的截面事實(shí)上就是凸集與凸集——平面的交集，所以截面必定是平面上的凸集。
由于凸多面體每個(gè)面都是平面上的凸多邊形區(qū)域，于是截面的邊界是面與面的交線段段構(gòu)成的平面閉曲線，這樣的凸集只能是凸多邊形。
接下來我們對(duì)截面進(jìn)行簡單的分類，這有助于我們接下來的討論。
正四面體截面的分類
以下我們所說的截面，皆指非退化的情況，如果是截線、截點(diǎn)，則不予討論。我們將截面分成以下兩種情況討論。
過頂點(diǎn)的截面
將正四面體視為三棱錐，則過頂點(diǎn)的截面由兩條母線所決定（通過兩條相交直線的平面唯一），第三條邊則落在底面，于是截面始終是三角形。特別地，若母線是某條棱，則截面是過棱的三角形。
普通截面
于是我們更在意的是不過頂點(diǎn)的截面。這樣的截面我們不妨命名為「普通截面」。一個(gè)顯而易見的事實(shí)，我將之命名為——
不相容原理：普通截面的任意兩個(gè)頂點(diǎn)不會(huì)在正四面體同一條棱。
否則，截面就會(huì)經(jīng)過這條棱的全部，這與普通截面的前提矛盾。所以，普通截面的每個(gè)頂點(diǎn)占據(jù)一條棱，而正四面體至多有6條棱，所以普通截面的邊數(shù)不會(huì)超過6.
推論：設(shè)正四面體截面為凸n邊形，則 n < 7.
不相容原理雖然很簡單，但是將問題大大簡化，我們?cè)僖膊挥脫?dān)心的情況，剩下的四種情況只需逐一排查即可。
如上圖是的情況。似乎是不存在的，能否嚴(yán)格證明——
定理：正四面體的截面是多邊形只有兩種情況：三角形、四邊形。
證明：我們只需要證明普通截面不可能出現(xiàn)五邊形、六邊形即可。正四面體總共只有6條邊，如果截面是五、六邊形，我們至少可以找到正四面體兩個(gè)面——正三角形每邊各有一點(diǎn)，這意味著截面同時(shí)過平面，矛盾。
特殊的截面
既然我們已經(jīng)確定正四面體的截面多邊形的全部類型，那么接下來可以尋找更特殊的截面，例如銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、矩形。
三角形
由前文所述，過頂點(diǎn)的截面一定是三角形。如下圖，設(shè)正四面體，設(shè)從頂點(diǎn)處發(fā)射兩條母線決定了截面。
分析截面三角形各個(gè)角，需要我們回憶中學(xué)立體幾何兩個(gè)重要的引理——
三正弦定理三正弦定理也稱為最大角定理，即二面角不小于線面角
三余弦定理三余弦定理也稱為最小角定理，即線面角不大于斜線角
證略。
我們可以把這個(gè)定理運(yùn)用到如下場景。
我們所求截面底角的余弦值等于
于是我們分別去了解 而由三正弦定理可知線面角有最大值為正四面體的二面角，最小值為截面過棱的角：
通過觀察，作為三角形的內(nèi)角的取值范圍是
上圖的截面的頂角只可能是銳角。事實(shí)上由最小角定理
<左右劃動(dòng)可見>
于是可知界面三角形是銳角、直角、鈍角三角形，取決于，而取決于這為我們提供了構(gòu)造各種類型三角形的方法。
四邊形
正四面體最特別的四邊形截面是「中位線正方形」，它是四條邊恰好是正四面體四個(gè)面的中位線。
如上圖，平行于中位線正方形的平面與正四面體的截面是矩形，這個(gè)矩形的周長始終與中位線正方形的周長相等，請(qǐng)讀者自行證明。周長固定，由均值不等式很容易得知，這樣的矩形面積不會(huì)超過中位線正方形的面積。
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