原文作者：Eliezer Yudkowsky，AI專家。

翻譯作者，風無名，哆嗒數學網翻譯組成員。

校對：Math001

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解答者：

噢！你好！又回來啦？

好奇寶寶：

是的，我又有新問題了。之前你說你不得不使用二階邏輯來定義自然數。不過，我非常確信我聽說過叫做“一階皮亞諾算術”的東西，據說它定義了自然數。從名字上說，它不應該含有任何“二階”公理。坦白地說，我覺得我對這個二階的東西還是一點感覺都沒有。

解答者：

好吧，讓我們通過考察如下的模型來開始：

這個模型擁有那三個我們希望對于標準自然數都滿足的性質“每一個數都有一個后繼”， ”如果兩個數擁有一樣的后繼，則相等”，”0是那個唯一的不是其它數的后繼的數。”。在這個模型中，所有這些陳述都是真的，所以從那個意義上，它的確和自然數差不多

顯然這個模型不是我們正在尋找的自然數，因為它擁有多余的一些神秘的數，像C， 2*。像C那樣的東西甚至是一個圈，我當然不希望任何自然數會這樣。而且，還存在雙向無窮的不能收攏到任何其它的東西的一條鏈。

是的，這就是一階邏輯與二階邏輯的區別：在一階邏輯中，我們可以去除那些ABC——做一個陳述句，它可以排除掉任何擁有像那樣的圈的模型。但是我們不能去除掉下面的無窮的鏈。在二階邏輯中，我們可以去掉多那個多余的鏈。

好奇寶寶：

你能解釋一下你剛剛說的嗎，雖然眼下我還不知道二階邏輯是什么。

解答者：

再等我一下。首先，細想下面這個檢驗“二性質”的公式：

x 2 = x * 2

好奇寶寶：

換句話說，當x等于2的時候，這個公式是真的，其它任何地方它是假的，所以它單獨挑選出2 ？

解答者：

正是。下面這個是一個檢查奇數的公式：

?y: x=(2*y) 1

好奇寶寶：

嗯，OK.這個公式在說，“存在一個y，使得x等于2乘以y加上1”。當x是1的時候，那是真的，因為0是一個數，而且1=(2*0) 1.當x是9的時候，那是真的，因為存在一個數4，使得(2*4) 1…正確的。只要x取奇數那個公式就是真的，而且只對x取奇數時是真的。

解答者：

非常正確。現在假定我們有一個辦法來檢查在一個模型中ABC-圈的存在——在ABC-圈都是真的其它地方都是假的的公式。然后，我可以改造一下這個公式，得到它的否定形式，即“任何像這樣的對象都不允許存在“，增加它，使它與“每一個數都有一個后繼“這些一起作為自然數的公理。

好奇寶寶：

嗯，我可以通過表述??x:(x=A)來去除ABC-圈嗎？

解答者：

嗯，只有你已經首先告訴了我A是什么才可以那么說，而且在一個去除了所有帶有圈的模型的邏輯中，你不能指定某個特定的不存在的對象。

好奇寶寶

這樣啊。OK…所以那些去除后繼的圈的思路是…嗯。在0，1，2，3這些數中，0不是任何數的后繼。如果我有一組次從1開始的數，比如{1,2,3 …}, 在這個組中，1不是任何數的后繼。在A，B，C，數A是數C的后繼，數C是數B的后繼，數B是數A的后繼，如果我說”不存在數的組G，使得對于G中的任何數x，它是G中另外一個數y的后繼。“

解答者：

啊！非常聰明。不過，你剛才就在使用二階邏輯，因為你談論了實體的組或類，一階邏輯僅僅談論單個的實體。假定我們有一個談論小貓以及他們是否是討人厭的邏輯。這是一個恰好含有三個不同的都是討人厭的小貓的論域的模型：

好奇寶寶：

嗯，那些“屬性”(圖中的“propery”)是什么？

解答者：

它們是小貓的所有可能的類。它們被稱為屬性，因為小貓的每一個類都對應了那類小貓具有的、其他類小貓不具有的屬性。比如右上角的那個只含有灰色小貓的類，就對應了一個在灰色小貓為真而在其它地方為假的某個陳述，也對應了一個只有灰色小貓具有、其它小貓不具有的屬性。事實上，從現在開始我們認為一個“屬性”僅僅說了一個“類”

好奇寶寶：

好，我理解了“小貓的類”這個概念了。

解答者：

在一階邏輯中，我們可以談論單個的貓，它與其它單個貓的關系，符合某個特殊關系的貓是否存在。在二階邏輯中，我們可以談論貓的類，以及某些類是否存在。所以，在一階邏輯中，我能說，“存在一只不討人厭的貓”或者“對于任意一只貓，它都是不討人厭的”或者“對于任意一只貓，存在另外一只貓它喜歡第一只貓”。不過，需要二階邏輯才形成關于“貓的類”的敘述句，比如“不存在一個貓的類，使得該類中的每一個貓都被該類中的另一只貓所喜歡”

好奇寶寶：

我懂了。所以，當我想說你不能擁有任何數的組，使得這個組中的任一個數都是這個組中的其它某個數的后繼…

解答者：

……你對數的類是否存在進行了量化描述，這意味著你在使用二階邏輯。不過，就這個情形來說，僅使用一階邏輯來去除ABC-圈，也是容易的，可能的。考察這個公式：

x=SSSx

好奇寶寶：

x 加3與它自己相等？

解答者：

對的。這是一個一階公式，因為它沒有談論類。在0，1，2，3…這個公式是假的，不過在A,B,C它是真的。

好奇寶寶：

圖中的那個加號“ ”是什么意思？

解答者：

嗯，我試圖使用加號“ ”來說“這公式是真的”，類似的， 假定“?”的意思是那個公式是假的。一個普通的想法是，我們現在有一個公式來檢查3-圈，把它們與像0，1，2這樣的標準數區分開來。

好奇寶寶：

我明白了。所以，通過添加??x:x=SSSx作為一條新的公理，所有含有A,B,C或者任何其它的非標準數的3-圈的模型，我們就可以都去除了。

解答者：

是的。

好奇寶寶：

不過，這樣向自然數的基礎理論添加一條公理，好像過于隨意。我的意思是，我從來沒有看到過這樣描述自然數的嘗試：把“沒有一個數等于它自己加3”作為一個基本的前提。看起來它應該是一條定理，而不是公理。

解答者：

那是因為它是通過引入一個更加一般的的規則來引入的。具體來說，一階算術有一個無窮公理模式——一個無窮但是可計算的公理模式。這個模式的每一條公理說了，對于一個一階公式Φ(x)：

1. 如果Φ在0是真的，即Φ(0)

2. 只要Φ在一個數時為真，則在這個數的后繼也為真，即?x: Φ(x)→Φ(Sx)

3. 那么，Φ在所有數都是真的: ?n: Φ(n)，即

(Φ(0) ∧ (?x: Φ(x) → Φ(Sx))) → (?n: Φ(n))

換句話說，對于每一個公式，它在0時真的，它在每一個使它為真的下一個數都是真的，那么它在任何一個數都是真的。這就是一階算術的歸納模式。作為一個特例，我們有這個歸納公理:

(0≠SSS0 ∧ (?x: (x≠SSSx) → (Sx≠SSSSx)) → (?n: n≠SSSn)

好奇寶寶:

不過那并沒有說對于所有的n， n≠n 3。它給出了一些前提條件，然后根據這些前提能可以得出最后那個結論，但是我并不知道那些前提條件在哪里。

解答者:

啊，然而，使用算術的其它公理，我們證明那些前提條件，從而證明了這個結論。公式(SSSx=x)在0是假的，因為0不是任何數的后繼，包括SS0。類似地，考慮公式SSSSx=Sx，我們可以整理為S(SSSx)=S(x)。如果兩個數有相同的后繼則它們是相等的，于是SSSx=x。根據逆否命題等價的邏輯規則：如果在Sx的真實性證明了在x的真實性，那么，在x為假就證明了在Sx為假。于是那個公式在0是假的，當它是假的時候它的后繼也取值為假，于是根據一階算術的歸納公理模式它必然處處為假。所以，一階算術可以去掉像這樣的模型：

好奇寶寶：

…嗯，我認為我明白了。如果這個模型遵守了我們已經指定了的其它公理（它們沒有去除掉這個模型），比如“零不是任何數的后繼”、“擁有同樣后繼的兩個數相等”——那么我們可以證明公式x≠SSSx 在0是真的，可以證明那個公式如果在x是真的那么在x 1也是真的。所以，一旦我們更進一步地添加公理x≠SSSx在0是真的，以及如果x≠SSSx在y是真的則在Sy也是真的，那么x≠SSSx在所有的x都是真的…

解答者：

我們已經得到了這些前提條件了，所以我們得到了那個結論 ?x: x≠SSSx，從而去除了所有的3-圈。對于任意的N，類似的邏輯可以去除N-圈。”

好奇寶寶：

所以，我們去除了所有的非標準自然數、只留下了標準自然數?

解答者：

不。因為還存在與-2*, -1*, 0*, 1* 這個無窮鏈相關的問題。

好奇寶寶：

這里有一個想法可以用來去除掉帶有無窮鏈的模型。鏈中的所有非標準自然數都大于標準自然數，對吧？比如，如果w是一個非標準自然數，那么w>3, w>4，等等？

解答者：

我們可以歸納地證明沒有一個數小于0，并且w不等于0、1、2、3、……，所以我必須同意那一點。

好奇寶寶：

OK.我們也能夠證明：如果x>y,那么x z > y z.所以如果我們有一個非標準數w并且討論w w, 那么w w一定大于w 3, w 4等等。

所以w w不能是哪個無窮鏈的任何部分，然后相加兩個數應該產生第三個數。

解答者：

事實上，那就證明了，如果存在一個無窮鏈，那就必然存在兩個無窮鏈。換句話說，圖片里面最原始的那個模型，僅僅它自己是不能作為一階算術的模型的。那個鏈蘊含著其它的元素，展示了這一點不意味著證明了那個鏈不存在。類似地，由于所有的數為奇數或者偶數，我們一定可以找到一個v使得v v = w 或者v v 1 = w。于是v必然是另一個非標準鏈的一部分，這個非標準鏈在那個含有w的標準鏈的前面。

好奇寶寶：

不過，那就要求有無窮多個無窮非標準數的鏈，這些非標準數都大于任何標準數。也許我們可以擴展這個邏輯，最終獲得一個矛盾，從而一開始就去除無窮鏈 —— 比如，我們可以證明任何完備的非標準數的類必定大于它自己？

解答者：

想法很好，不過，并不可行。你將得到這樣的結論：如果一個非標準數存在，它必定是一個雙向無窮的鏈的一部分，這個鏈看起來像是負整數與正整數的有序拷貝。如果一個無窮鏈存在，那么存在對應于所有有理數的無窮多個鏈。所以呢，可以作為一階算術的非標準模型的某個東西，必定至少含有標準數，緊接著一個有理數的拷貝（每一個有理數都被一個整數所代替）。然后，加法、乘法在這個設定中都走得通——我們不能證明它可能比我們已經說過的更大。”

好奇寶寶：

OK, 那么我們如何才能去除掉無窮多個無窮鏈的非標準自然數、僅僅保留開始的標準自然數呢？它們將違反什么樣的陳述句——什么類型的公理才可以排除掉多余的數呢？

解答者：

為此，我們必須使用二階邏輯。

好奇寶寶：

坦白地說，我不是100%地清楚它們的區別。

解答者：

OK…早先你給我一個可以檢測出奇數的公式。

好奇寶寶：

是的。?y: x=(2*y) 1，在x=1，x=9等等地方為真，不過在x=0為假。

解答者：

當你依據數的類來思考的時候，那就存在一些能夠被公式所定義的類。例如，奇數 {1, 3, 5, 7, 9, …}的類可以被這個帶有自由變元x的公式所定義： ?y: x=(2*y) 1。不過呢，你也可以試著去僅僅就類論類地討論{1, 3, 5, 7, 9, …}這個數集，是否存在一個定義了它的公式。

好奇寶寶：

等一下，如果你不能定義一個說明了某些東西是否是這個集合的元素的公式，你怎么能談論一個一個集合呢？我的意思是，從理性主義者的視角來看，那樣貌似感覺不爽。

解答者：

嗯…還記得先前關于小貓的談話嗎？

假定你像這樣談說，‘存在一個小貓的類，使得任何一只小貓只喜歡這個類中的其它小貓’。給我一個裝滿小貓的屋子，我可以計數出所有可能的類，對于每一個類檢查你的陳述，這樣就可以看到是否真的存在一個像那樣說的類。所以那個陳述句是有意義的——它是可以被否定或者檢查的，它限制了實在的狀態。不過你并沒有給我一個局部的公式以便我抓起一只小貓就能判斷它是否在這個神秘的類之中。我必須遍歷所有的小貓的類來尋找滿足你的陳述句的類，只有到那時，我才能判斷任何具體的單只小貓是否在那個類中。不過那個陳述句仍然有可錯性，雖然使用數學的術語，它是非直謂的([譯注1])——以下情況我們才能那樣稱呼它：當你構造了一個你只能通過考察很多可能的類來核實的陳述句，并沒有從一個特殊的、你告訴了我如何構造的類來開始。

好奇寶寶：

啊… 嗯。如果是在有無窮只小貓的世界里，你不能在有限時間內遍歷所有可能的類呢？

解答者:

如果你說，‘存在一個小貓的類，它們都互相喜歡’，我可以展示出來一個擁有三只小貓的彼此喜歡的類，于是就證明了那個陳述句是正確的。如果你說‘存在一個類，它有四只小貓，它們互相喜歡但不喜歡別的貓’，在已經知道小貓的其它特性的情況下，我也許可以提供一個構造性的證明來證明你的陳述是錯的；每次，你給我四只貓，我可以找到第五只貓，它被你的四只貓的一只所喜歡，從而否定了你的努力。不過，這就把我們帶到了關于數學的非常深入的部分了，我們暫時不去講它。重點是即使是無窮的世界里，仍然存在二階的陳述讓你在有限時間內證明或證否。一旦你承認那些特殊的二階陳述句是在有意義地說明一些東西，好吧，也許，你會承認一般的二階陳述句也是有意義的。

好奇寶寶：

……對我來說那聽起來有點怪怪的，也許不久以后我們會遇到麻煩。

解答者：

你不是唯一一個糾結這個的“數學家”。

好奇寶寶：

不過讓我們回到自然數吧。你說我們可以使用二階邏輯來去除任何的無窮鏈。

解答者：

是的。在二階邏輯中，我們可以在一條陳述句中，直接對所有可能的類進行量化，而不必使用所有公式上的無窮的公理模式：

?P: P(0) ∧ (?x: P(x) → P(Sx)) → (?n: P(n))

這里的P是任何一個類的陳述，它在每一個數要么真要么假。數的任何一個類，都對應了一個陳述，對于類里面的數它為真，對于類外面的數它為假。

好奇寶寶：

OK…那是如何去除掉無窮鏈的呢？

解答者：

因為，從理論上說，無論是否存在一個一階公式能把它們挑選出來，仍然存在一個包含、且僅包含了標準數{0, 1, 2, …}的類。如果你把類當作一個陳述P，那么P在0是真的——那就是說，0是標準數中。如果200是一個標準數則201也是等等；如果P在x是真的，也在x 1是真的。另一方面，如果你把‘僅在在標準數’這個類當作一個陳述，它在 -2*, -1*, 0*等等都是假的——那些數不在這個理論上的類中。所以‘如果它在0*為真則它在1*為真’就是為真了，因為在0*它不為真。于是我們以下圖來終結：

所以這個二階公理……

?P: P0 ∧ (?x: Px → P(Sx)) → (?n: Pn)

……一下子就去除掉了任何不鏈接的鏈、有限圈，即任何非標準數。

好奇寶寶：

不過那條公理的準確意思是？我的意思是，暫時放棄短語‘標準自然數’，假定我對那些沒有任何的理解，僅僅給我解釋一下那條公理事實上說了什么。

解答者：

它表達了這個意思：正在討論的模型——符合這個公理的模型——讓形成這樣的類是不可能的：在后繼這個操作之下是封閉，包含了0但是不包含每一個東西。在這個論域中的類不可能是這樣的:0在這個類中，這個類中的每一個東西的后繼也在這個類中，然而它并不含有每一個東西。所以，你不能含有一個不連通的無窮的鏈——（如果存在的話）那將至少存在一個類，它含有了0以及所有的后繼——后裔，然而并不包含那個鏈；而且我們有一個有啟發性的新公理述說了那個不可能的。

好奇寶寶：

也許你能夠使用一個更加直觀的方式來說明？好比說，如果這就是我所信仰的關于這個宇宙的事情，那么，什么是我可以期望得到的呢？

解答者：

如果這就是你所信仰的你生在其中的數學模型…那么你相信了，不管是你還是其他對手，抑或是一個超級智能體，或者上帝，都不能對對象以這種方式來說‘是’或‘非’：當你給他們0，他們說‘是’；當你給他們任何他們說‘是’的對象，他們也對這個對象的后繼說‘是’；然后，存在某個對象，他們說‘非’。你相信這絕不能發生，無論以什么方式。宇宙中的對象被后繼安裝的這種方式，從不允許那種事情發生。

好奇寶寶：

啊。如果他們對42說‘非’，我將回退并且詢問41，然后是40，然后當我到了0，我將會發現他們對0說‘非’或者‘他們對41說了非，然而對40說了是’。如果我相信帶有無窮公理模式的一階邏輯，我能夠期望得到什么呢？

解答者：

在那種情況，你相信不存在像那樣起作用的靈巧規定的、緊湊描述的規則。不過如果你相信那個二階版本，你相信，沒有人可能像那樣行動，即使他們是在隨機地回答問題，或者把這個宇宙叉開一個分支來在不同的宇宙中以不同方式來回答等等。順便注記一下，如果我們有一個有限的論域[譯注2]，也就是說，我們去掉了那個每一個數都有一個后繼的規則，作為替代假定256是唯一沒有后繼的數——那么我們就可以在有限時間之內來驗證這條公理了。

好奇寶寶：

我明白了。是否存在一個方法使用一階邏輯去除掉無窮鏈呢？我將發現那更容易處理一點，即使它剛開始看起來更復雜。

解答者：

恐怕是沒有的。一種我喜歡看待的方式是：從局部看模型如何這樣的約束，一階邏輯能夠做到，然而只有二階邏輯才能談論鏈、類、作為一個整體的模型這些的性質。任何一個數是否具有后繼是一個局部性質——模型從一個數的視角去看是怎樣的，這樣的問題。一個數加三是否等于它自己，是一個這樣的問題：你能夠從任何一個數它自己的位置去評估。一個數是否是偶數，這個問題你可以通過尋找唯一的一個數x使得x x等于那個數來回答。但是，當你試圖說僅存在唯一的鏈它從0開始，借助于連通、鏈的想法，你在試圖描述非局部的性質，這需要指定一個關于可能的類的邏輯。

好奇寶寶：

嗯。不過如果所有的局部性質都是一樣的，為什么要擔心整體性質呢？在一階邏輯中，任何‘局部’公式它在0以及所有‘自然的’后繼都是是真的，在所有的不連通的鏈它將必須為真… 對嗎？亦或我弄錯了什么？0-鏈之外的所有鏈——所有‘非標準數’——將像‘自然’數一樣擁有同樣的性質，對嗎？

解答者：

恐怕不是的。算術的一階公理不能成功地確定一個圖靈機會停止——是否存在一個時刻使得一個圖靈機停止。在標準數中，從我們的視角說某個圖靈機‘真的不’停機——它在第0個時鐘滴答不停機，在第1個時鐘滴答不停機，在第2個時鐘滴答不停機，以及0-鏈上的所有標準后繼。在整數的非標準模型——擁有其它無窮鏈的模型——在一個非標準鏈中也許存在一個位置，圖靈機走到那里就停止了，而且永遠停止在哪里。

在這個新的模型——與一階公理完全兼容，并且不能被它們去除掉——‘對于任一個數t這個圖靈機是運行的，在t 1它仍然運行’不是真的。雖然我們可以把我們的注意力限制在‘自然’數上，我們可以發現這個圖靈機在0，1，2以及0-鏈的后繼每一個時刻都是運行的。

好奇寶寶：

OK… 我不是清楚那樣做會有什么后果？

解答者：

它意味著很多事實上在標準時間上從來不停機的圖靈機，僅僅使用一階推理,是不能證明不停機的，因為它們的不停機性事實上是不能從一階公理推論出的。邏輯是關于那些從前提導出的結論的，還記得嗎？這意味著你將不能證明——不應該證明——這個圖靈機停止，只使用一階邏輯的話。

好奇寶寶：

怎么證明不成立呢？我的意思是，那些證明在哪里走不通呢？

解答者：

你將無法得到歸納中的第二步，‘對于任一個時刻t圖靈機正在運行，在t 1時刻它仍將運行’。存在帶有非標準數t的非標準模型否定了這個前提條件——在一個非標準時間 圖靈機從運行狀態停止了。我們可以把注意力僅限制在標準數的話，我們會發現那個圖靈機在0，1，2等等在運行。

、

好奇寶寶：

不過如果一個圖靈機事實上真的停止了，那就存在某個它停止的時刻，比如在第97步。

解答者：

是的。不過97存在于算術的所有的非標準模型，所以我們可以在一階邏輯中證明其存在性。0是一個數，每一個數有一個后繼，數不循環等等，那將存在97。每一個非標準模型至少含有標準數。所以當一個圖靈機確實停機的時候，你可以在一階算術中證明它停機——它推導出自那些前提。那正是你所期待的，假定你可以觀察那個圖靈機97步的話。當某圖靈機事實上停機的時候你應該可以證明它停止而不需要擔心無限的未來時間！當它在標準數中事實上不停機的時候——由于‘非標準停機時間’的存在，它就變成了一個問題。于是，圖靈機永遠運行這個結論也許事實上不能從一階算術推導出來，因為你可以遵從一階算術的所有的前提，然而仍有在非標準模型中的某個位置圖靈機會停機。

好奇寶寶：

所以二階算數比一階算術更加強大，就哪些可以從前提推導出來來說？

解答者：

能夠談論較少可能的模型這個能力必然得出那一點。正像已經寫到的，“關于某個蘋果是真的事情對于另一個蘋果不一定是真的；所以，關于單個蘋果可說的東西多于關于這個世界上所有的蘋果可以說的東西。”如果你能夠把你的論域限制到一個更狹窄的模型的類上，那就存在更多的可以必然推導出的事實，因為你談論的模型越大，關于它們都真的事實越少。另外二階算數比一階算術證明了更多的定理，它也確實是真的——比如，它能夠證明一個能計算古德斯坦序列的圖靈機總是到達0并停機，赫拉克勒斯總是贏得九頭蛇游戲。不過呢，如果這樣就一般地來說二階邏輯是否事實上比一階邏輯更加強大，會遇到一點爭議。

好奇寶寶：

好吧。畢竟，僅僅因為沒有人曾經發明一個一階公式來去除掉所有的非標準數，并不意味著它永遠不可能。未來一些聰明的數學家也許可以找到一個方式使得，對于任一個數x，使用加法、乘法、關于其它單個的數是否存在這些來對它僅作局部的事情，這個方法可以告訴我們那個數是在0-鏈上，亦或在某個雙向無窮的鏈上。它將簡單得就像：

(a=b*c)

解答者：

不。那不會發生。

好奇寶寶：

不過，也許，你能否找到一些完全不同的創新的方式，只用一階公理得到全部都是標準自然數的模型。

解答者：

不可能。

好奇寶寶：

嗯…你是如何準確地知道那一點的？我的意思是，當你參加一個比賽，作為比賽選手的一條原則就是當某事看起來不可能的時候，你不要放棄。我不能明白如何使用一階公式來檢查無窮的鏈。不過，先前我不能認為你可以去除有限圈，一旦你講解了，它就顯得非常簡單。畢竟，關于‘不可能’這個詞存在兩種不同的用法，一種直接用已有知識表明了某事不能實現，也就是說哪怕你是一個超級智能體，也不可能找一種做法來達成這個目標。這種情況，你需要利用已知知識給出一個確定、完整的結果，從而你可以否定每一個可能的成功途徑。還有另外一種，‘不可能’一詞更加通常的用法：你思考了五秒鐘沒有發現實現它的方法，然后就說”不可能“。一般在對知識了解有限，那個問題又看起來有些神秘主義傾向會這樣。

解答者：

是的。使用一階公式來去除掉雙向無窮鏈，是第一種類型的不可能。我們知道它永遠不可能實現。

好奇寶寶：

嗯，我知道。好吧，你有什么觀點，如何說明你的觀點？能用你明確的知識正面回答為什么‘不可能’嗎？別用這種神秘兮兮的方式強行灌輸？

解答者：

下一次，下一次我們再來好好講講。

譯者注：

[1]非直謂的(impredicative)

[2]原文universe既可以翻譯為宇宙，也可以在某些情況下翻譯為“論域”。有些情況下，難以抉擇，或者本身就是雙關。請讀者自己記住這一點。

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