【考試要求】
1.理解等比數(shù)列的概念,掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式;
2.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題;
3.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.
【知識梳理】
1.等比數(shù)列的概念
(1)如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.
數(shù)學(xué)語言表達式:=q(n≥2,q為非零常數(shù)).
(2)如果三個數(shù)a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項,其中G=±.
2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比是q,則其通項公式為an=a1qn-1;
通項公式的推廣:an=amqn-m.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式:當q=1時,Sn=na1;當q≠1時,Sn==.
3.等比數(shù)列的性質(zhì)
已知{an}是等比數(shù)列,Sn是數(shù)列{an}的前n項和.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則有ak·al=am·an.
(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即ak,
ak+m,ak+2m,…仍是等比數(shù)列,公比為qm.
(3)當q≠-1,或q=-1且n為奇數(shù)時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比數(shù)列,其公比為qn.
【微點提醒】
1.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列{c·an}(c≠0),{|an|},{a},也是等比數(shù)列.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列,還要驗證a1≠0.
3.在運用等比數(shù)列的前n項和公式時,必須注意對q=1與q≠1分類討論,防止因忽略q=1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.
【考點聚焦】
考點一 等比數(shù)列基本量的運算
【規(guī)律方法】 1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題,等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.
2.等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,當q=1時,{an}的前n項和Sn=na1;當q≠1時,{an}的前n項和Sn=
考點二 等比數(shù)列的判定與證明
【規(guī)律方法】 1.證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法,其他方法只用于選擇題、填空題中的判定;若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.
2.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時,要注意對n=1的情形進行驗證.
考點三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
【規(guī)律方法】
1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若m+n=p+q,則am·an=ap·aq”,可以減少運算量,提高解題速度.
2.在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時,要注意性質(zhì)成立的前提條件,有時需要進行適當變形.此外,解題時注意設(shè)而不求思想的運用.
【反思與感悟】
1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題,數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.
2.(1)方程思想:如求等比數(shù)列中的基本量.
(2)分類討論思想:如求和時要分q=1和q≠1兩種情況討論,判斷單調(diào)性時對a1與q分類討論.
【核心素養(yǎng)提升】
【數(shù)學(xué)運算】——等差(比)數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
1.數(shù)學(xué)運算是指在明析運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).本系列數(shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為:理解數(shù)列問題,掌握數(shù)列運算法則,探究運算思路,求得運算結(jié)果.通過對數(shù)列性質(zhì)的學(xué)習(xí),發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力,促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展.
2.數(shù)學(xué)抽象是指能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則,能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納形成簡單的數(shù)學(xué)命題,能夠在解決相似的問題中感悟數(shù)學(xué)的通性通法,體會其中的數(shù)學(xué)思想.
類型1 等差數(shù)列兩個性質(zhì)的應(yīng)用
類型2 等比數(shù)列兩個性質(zhì)的應(yīng)用
類型3 等比數(shù)列前n項和Sn相關(guān)結(jié)論的活用
(1)項的個數(shù)的“奇偶”性質(zhì):等比數(shù)列{an}中,公比為q.
若共有2n項,則S偶∶S奇=q.
(2)分段求和:Sn+m=Sn+qnSm(q為公比).
