等比數列是指一個數列，其中每一項與前一項的比值相等。等比數列的通項公式為 $a_n=a_{n-1} r^n$，其中 $a_n$ 是第 $n$ 項，$a_{n-1}$ 是第 $n-1$ 項，$r$ 是等比數列的公比。
等比數列在數學和物理學等領域都有廣泛的應用。例如，等比數列可以用來表示函數的單調性，也可以用來控制系統的響應速度。此外，等比數列還可以用來推導一些數學公式，例如等比數列的和公式和公比為 1 的等比數列的求和公式。
等比數列的通項公式可以通過以下步驟來推導：
1. 將等比數列的前幾項相加，得到 $a_1=r$。
2. 將等比數列的前幾項相減，得到 $a_2=r^2$。
3. 將等比數列的前幾項相加，得到 $a_3=r^3$。
4. 將等比數列的前幾項相減，得到 $a_4=r^4$。
5. 以此類推，可以得到等比數列的通項公式為 $a_n=r^n$。
等比數列的公比 $r$ 是一個常數，它決定了等比數列的項數和項積。例如，如果等比數列的公比為 2，那么第 $n$ 項為 $a_n=r^n=2^n$，項積為 $a_n \\times a_{n-1} \\times \\cdots \\times a_1=r^n \\times 2^{n-1} \\times \\cdots \\times 2$。如果等比數列的公比為 1，那么第 $n$ 項為 $a_n=r^n=1$，項積為 $a_n \\times a_{n-1} \\times \\cdots \\times a_1=r^n \\times 1 \\times \\cdots \\times 1$。
等比數列的和公式為 $S_n=a_1+a_2+\\cdots+a_n=r^n$，其中 $S_n$ 是等比數列的第 $n$ 項。公比為 1 的等比數列的和公式為 $S_n=1+r+r^2+\\cdots+r^n$，其中 $S_n$ 是等比數列的第 $n$ 項。
等比數列的求和公式為 $S_n=a_1+a_2+\\cdots+a_n=r^n$，其中 $S_n$ 是等比數列的第 $n$ 項。公比為 1 的等比數列的求和公式為 $S_n=1+r+r^2+\\cdots+r^n$，其中 $S_n$ 是等比數列的第 $n$ 項。
等比數列的通項公式和求和公式是等比數列的重要性質和應用
