集合貫穿高中數(shù)學(xué)的整個過程，是學(xué)習(xí)其他知識點(diǎn)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)抽象思維的要求，集合的概念與表示要掌握集合的概念，集合的性質(zhì)，表示方法，學(xué)會用符號語言表示集合，了解空集的含義。
一、集合的概念
一般地,我們把指定的某些對象的全體稱為集合.通常用大寫英文字母A,B,C,…表示.
集合中的每個對象叫作這個集合的元素,通常用小寫英文字母a,b,c,…表示.
1.集合的概念同平面幾何中的點(diǎn)、線、平面等類似,只是描述性的說明.
2.集合是一個整體,暗含“所有”“全部”“全體”的含義.一些對象一旦組成了集合,這個集合就是這些對象的總體.
3.組成集合的對象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、符號等,也可以是人或物等.
二、元素與集合的關(guān)系
1.a∈A與a?A取決于元素a是否在集合A中,這兩種情況中必有且只有一種成立.
2.符號“∈”“?”只能用在元素與集合之間,表示元素與集合之間的從屬關(guān)系.具有方向性.
三、集合中元素的三個特性
1.確定性的作用是判斷一組對象能否組成集合.
2.互異性的作用是警示我們做題后要檢驗(yàn).特別是題中含有參數(shù)(字母)時,一定要檢驗(yàn)求出的參數(shù)是否使集合的元素滿足互異性.
3.無序性的作用是方便定義集合相等,當(dāng)兩個集合相等時,其元素一定相同,但不一定依次對應(yīng)相等.
四、幾種常用的數(shù)集及其記法
常用數(shù)集之間的關(guān)系
五、集合的表示方法
1.列舉法
列舉法是把集合中的元素一一列舉出來寫在花括號“{ }”內(nèi)表示集合的方法,一般可將集合表示為
用列舉法表示集合時,必須注意以下幾點(diǎn):
(1)元素與元素之間必須用“,”隔開;
(2)集合的元素必須是明確的;
(3)不必考慮元素出現(xiàn)的先后順序;
(4)集合的元素不能重復(fù);
(5)集合的元素可以表示任何事物;
(6)對含有較多元素的集合,如果該集合的元素具有明顯的規(guī)律,可用列舉法表示,但是必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后,才能用省略號表示,如N 也可表示為.
2.描述法
描述法是通過描述元素滿足的條件表示集合的方法.
一般可將集合表示為{x及x的范圍|x滿足的條件},即在花括號內(nèi)先寫出集合中元素的一般符號及范圍,再畫一條豎線“|”,在豎線后寫出集合中元素所具有的共同特征.
（1）用描述法表示集合應(yīng)寫清楚該集合中的代表元素，即代表元素是數(shù)、有序?qū)崝?shù)對、集合，還是其他形式.
（2）準(zhǔn)確說明集合中元素的共同特征.
（3）所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號內(nèi)，并且不能出現(xiàn)未被說明的字母.但是，如果從上下文的關(guān)系看，代表元素的范圍明確，可以省略.如非常明確x∈R，則“∈R”可以省略.
（4）用于描述的語句力求簡明、準(zhǔn)確，多層描述時，要準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示描述語句之間關(guān)系的詞
六、集合的分類
1.集合可以根據(jù)它含有的元素的個數(shù)分為兩類:
含有有限個元素的集合叫作有限集,含有無限個元素的集合叫作無限集.
2.把不含有任何元素的集合叫作空集,記作?.
(1)集合的分類是按照集合中元素是有限個還是無限個劃分的,不是按元素多少,一個集合中元素有很多,但是個數(shù)有限,也屬于有限集.
(2)空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因?yàn)樗性?.
空集是有限集還是無限集? 空集可以看成包含0個元素的集合,所以空集是有限集.
七、區(qū)間及其表示
1.設(shè)a,b是兩個實(shí)數(shù),且a＜b我們作出規(guī)定:
這里的實(shí)數(shù)稱為區(qū)間的端點(diǎn).[a,b]稱為閉區(qū)間,(a,b)稱為開區(qū)間 ,[a,b),(a,b]稱為 半閉半開區(qū)間.
在數(shù)軸上表示區(qū)間時,用實(shí)心點(diǎn)表示屬于區(qū)間的端點(diǎn),用空心點(diǎn)表示不屬于區(qū)間的端點(diǎn).
2.數(shù)集R也可用區(qū)間表示為(-∞, ∞),“∞”讀作“無窮大”,“-∞”讀作“負(fù)無窮大”,“ ∞”讀作“正無窮大”.還可把滿足x≥a,x>a,x≤b,x<b的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為如下情況
1.區(qū)間左端點(diǎn)的值小于右端點(diǎn)的值.
2.有完整的區(qū)間外圍記號.
3.區(qū)間符號中的兩個端點(diǎn)(字母或數(shù)字)之間只能用“,”隔開
一般地,確認(rèn)一組對象均不相同)能否構(gòu)成集合的過程為:
判斷元素與集合的關(guān)系的兩種方法
(1)直接法:如果元素是直接給出的,那么只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.此時應(yīng)明確集合是由哪些元素組成的.
(2)推理法:對于一些元素沒有直接給出的集合,只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.此時應(yīng)明確已知集合中的元素具有什么特征.
根據(jù)集合中元素的確定性解出字母參數(shù)的所有可能取值,再根據(jù)集合中元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn).互異性是元素的三個特性中最常用的一個,解答含有字母參數(shù)的元素與集合之間關(guān)系的問題時,要具有分類討論的意識.
①解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的情況,所以解題后需要進(jìn)行檢驗(yàn)和修正.
②有些數(shù)學(xué)問題需要根據(jù)題目的要求和特點(diǎn)分成若干類,轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決,這種按不同情況分類,然后再逐一研究解決問題的數(shù)學(xué)方法就是分類討論的方法.
1.使用列舉法表示集合時,應(yīng)注意以下幾點(diǎn):
(1)在元素個數(shù)較少或元素間有明顯規(guī)律時可用列舉法表示集合.
(2)“{}”表示“所有”的含義,不能省略,元素之間無順序,滿足無序性.
2.用列舉法表示集合,要分清該集合是數(shù)集還是點(diǎn)集.
用描述法表示集合需要注意的有：
1.用描述法表示集合時應(yīng)弄清楚集合的屬性,即它是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型.一般地,數(shù)集用一個字母代表其元素,點(diǎn)集用一個有序?qū)崝?shù)對代表其元素.
2.若描述部分出現(xiàn)代表元素以外的字母,則要說明新字母含義或指出其取值范圍.
表示集合時,應(yīng)先根據(jù)題意確定符合條件的元素,再根據(jù)元素情況選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒?em>.
值得注意的是,并不是每一個集合都可以用兩種方法表示出來.
