目錄
? 什么是三角形?
? 三角形分類
? 三角形的性質
? 三角形的面積公式
? 生活中的三角形物品
? 三角形中的線段
? 三角形相關定理
? 勾股定理
什么是三角形?
由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結所組成的封閉圖形叫做三角形。
平面上三條直線或球面上三條弧線所圍成的圖形。
三條直線所圍成的圖形叫平面三角形;三條弧線所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。
三角形分類
(1)按角度分
a.銳角三角形:三個角都小于90度 。并不是有一個銳角的三角形，而是三個角都為銳角，比如等邊三角形也是銳角三角形。
b.直角三角形(簡稱RT三角形):
(1)直角三角形兩個銳角互余;
(2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;
(3)在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半;
(4)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°;
(5)在直角三角形中，兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2 b2=c2.
(6)(h為斜邊上的高)，外接圓半徑斜邊上的中線，內切圓半徑
(7)有一個角是90度的三角形，夾90度的兩邊稱為“直角邊”，直角的對邊稱為“斜邊”。 (非直角三角形也稱斜三角形，銳角三角形、鈍角三角形都是斜三角形)
c.鈍角三角形:有一個角為鈍角的三角形 。鈍角三角形有兩條高在鈍角三角形的外面,鈍角為大于九十度且小于一百八十度
(2)按邊長分
a.等腰三角形:兩條邊相等的三角形。又可分為三條邊都相等的等腰三角形，即等邊三角形，和只有兩條邊相等的等腰三角形。普通等腰三角形中，兩條相等的邊稱為“腰”，第三邊叫做“底邊”，腰對應的角(稱為底角)也是相等的。
b.非等腰三角形:三條邊均不相等的三角形。
(3)特殊三角形
退化三角形:面積為零的三角形。
三角形的性質
1.三角形的任何兩邊的和一定大于第三邊 ，由此亦可證明得三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊。
2.三角形內角和等于180度
3.等腰三角形的頂角平分線，底邊的中線，底邊的高重合，即三線合一。
4.直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方–勾股定理。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。
5.三角形共有五心:
內心:三條角平分線的交點，也是三角形內切圓的圓心。
性質:到三邊距離相等。
外心:三條中垂線的交點，也是三角形外接圓的圓心。
性質:到三個頂點距離相等。
重心:三條中線的交點。
性質:三條中線的三等分點，到頂點距離為到對邊中點距離的2倍。
垂心:三條高所在直線的交點。
性質:此點分每條高線的兩部分乘積
旁心:三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點
性質:到三邊的距離相等。
6.三角形的外角(三角形內角的一邊與其另一邊的延長線所組成的角)等于與其不相鄰的內角之和。
三角形為什么具有穩定性
任取三角形兩條邊，則兩條邊的非公共端點被第三條邊連接
∵第三條邊不可伸縮或彎折
∴兩端點距離固定
∴這兩條邊的夾角固定
∵這兩條邊是任取的
∴三角形三個角都固定，進而將三角形固定
∴三角形有穩定性
任取n邊形(n≥4)兩條相鄰邊，則兩條邊的非公共端點被不止一條邊連接
∴兩端點距離不固定
∴這兩邊夾角不固定
∴n邊形(n≥4)每個角都不固定，所以n邊形(n≥4)沒有穩定性
三角形的面積公式
(1)S△=1/2*ah(a是三角形的底，h是底所對應的高)
(2)S△=1/2*ac*sinB=1/2*bc*sinA=1/2*ab*sinC(三個角為∠A∠B∠C，對邊分別為a,b,c，參見三角函數)
(3)S△=√〔s*(s-a)*(s-b)*(s-c)〕 【s=1/2(a b c)】
(4)S△=abc/(4R)【R是外接圓半徑】
(5)S△=1/2*(a b c)*r 【r是內切圓半徑】
生活中的三角形物品
雨傘、帽子、彩旗、燈罩、風帆、小亭子、雪山、樓頂、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、熱帶魚的邊緣線、蝴蝶翅膀、火箭、竹筍、寶塔、金字塔、三角內褲、機器上用的三角鐵、某些路標、長江三角洲、斜拉橋等。
三角形全等的條件
注意:只有三個角相等無法推出兩個三角形全等
(1)三邊對應相等的兩個三角形相等，簡寫為“SSS”。
(2)兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“ASA”。
(3)兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“AAS”。
(4)兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“SAS”。
(5)斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“HL”。
全等三角形的性質
全等三角形的對應角相等，對應邊也相等。
多邊形的內角與外角和
(1)N邊形的內角和等于(N-2)。180°，N邊形的外角和等于360°.
(2)正N邊形的每個內角都等于[(N-2)×180°]÷N，每個外角都等于360°÷N。
(3)N邊形從一個頂點出發有(N-3)條對角線，N邊形共有N(N-3)÷2條對角線.
三角形中的線段
中線:定點與對邊中點的連線，平分三角形。
高:定點到對邊垂足的連線。
角平分線;定點到兩邊距離相等的點所構成的直線。
中位線:任意兩邊中點的連線
三角形相關定理
重心定理 三角形的三條中線交于一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍.
上述交點叫做三角形的重心.
外心定理 三角形的三邊的垂直平分線交于一點.
這點叫做三角形的外心.
垂心定理 三角形的三條高交于一點.
這點叫做三角形的垂心.
內心定理 三角形的三內角平分線交于一點.
這點叫做三角形的內心.
旁心定理 三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點.
這點叫做三角形的旁心.三角形有三個旁心.
三角形的重心、外心、垂心、內心、旁心稱為三角形的五心.它們都是三角形的重要相關點.
三角形公式:
S(面積)=a(邊長)h(高)/2—三角形面積等于一邊與這邊上的高的積的一半
勾股定理
在Rt三角形ABC中，〈A=90度，則
AB·AB AC·AC=BC·BC
