原文作者：德夫林，斯坦福大學數(shù)學教授，英國數(shù)學科普作家。
翻譯作者：心一，就讀于南開大學數(shù)學專業(yè)。
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一直以來，中學致力于講授數(shù)學的技巧，很少講數(shù)學是什么，學生因此認為數(shù)學就是學習并應用相關(guān)技巧以解決特定問題的一門學科。這有點像把足球運動看作是運用策略讓球進門一樣；二者確實點出了一些關(guān)鍵，但同時也丟掉了對整個圖景的認識。
當然，考慮到中學課程安排的需要，上述情形容易理解，然而這種安排所導致的后果也不容小覷。尤其在當今世界，對數(shù)學的深度，廣度，效力以及局限有一個基本的認識對于每一個人都大有裨益。這些年來，我(指Keith Devlin教授)見過許多數(shù)學相關(guān)專業(yè)的人，比如工程，物理，計算機甚至數(shù)學專業(yè)本身，他們告訴我，從小學到大學一路學下來，他們還是不知道數(shù)學到底是什么。只是在后來偶然的情形，當接觸到數(shù)學某一部分真正的本質(zhì)時，他們才開始感受到數(shù)學的魅力。
Ⅰ 不僅僅是算術(shù)
當下科技使用的數(shù)學，絕大部分是近三百年的成果，有些甚至只有一百年。然而中學的傳統(tǒng)課程，卻是至少三百年前甚至兩千年前的知識。講授歷史如此悠久的內(nèi)容無可厚非，正如諺語所云：物盡其用。事實上，八九世紀阿拉伯世界商人為提高交易效率而發(fā)展的算術(shù)依舊有用，區(qū)別只在于他們手算我們用電子表格。隨著時間推移，社會進步，對新的數(shù)學的需求也日漸凸顯，相應的教育也應與時俱進。
據(jù)研究，數(shù)學始于一萬年前數(shù)和運算的發(fā)明，接下來的幾個世紀，古埃及人和古巴比倫人在此前基礎(chǔ)上發(fā)展了幾何學和三角學。對上述文明而言，數(shù)學就像菜譜，實用為上(“對一個數(shù)或一個圖先作這個，再作那個，就會得到想要的結(jié)果”)。公元前500年到公元300年，數(shù)學進入希臘新紀元。古希臘人對幾何有特殊的偏愛，他們用線段長度來表示數(shù)字，當發(fā)現(xiàn)沒有數(shù)字可對應的長度時(無理數(shù)的發(fā)現(xiàn))，他們的研究止步了。
事實上，數(shù)學正是從希臘時期開始被當作一門嚴肅的研究，不再像以前作為度量或計數(shù)技巧而存在。大約公元前500年，米利都的泰勒斯最早引進了現(xiàn)在被公認為數(shù)學基石的概念：定理，即數(shù)學論斷可以通過形式推理得到證明。泰勒斯所指出的道路，在歐幾里得的《幾何原本》中體現(xiàn)地淋漓盡致，《幾何原本》也因此成為繼《圣經(jīng)》之后流傳最廣的經(jīng)典。
到第一個千禧年的前半頁，印度人發(fā)明進位制，伊斯蘭世界的學者在后半頁將其進一步深化，到中世紀歐洲南部掌握了這一方法，此后數(shù)學的發(fā)展未曾停步，持續(xù)至今。與此對照，中學的課程在包含上述內(nèi)容之外，只增加了兩門新課程：初等微積分和初等概率論。也就是說，過去三百年發(fā)展起來的學科無一入選中學課程，而我們用的大多數(shù)數(shù)學正好就是這二三百年發(fā)展起來的！
因此，對數(shù)學的認識只局限于中學的人，就不大能理解數(shù)學研究其實是一項普世而經(jīng)久不息的活動，也不會理解數(shù)學會像空氣一樣彌漫在日常生活中。比如很少有人知道，美國哪個機構(gòu)雇傭了數(shù)量最多的數(shù)學博士(答案是國家安全局，為其效力的大多數(shù)數(shù)學家的主要工作是破解密碼，以此幫助安全局獲取被加密了的信息)。
近一百年來數(shù)學的發(fā)展可謂爆炸式。20世紀初，數(shù)學包含十二個子學科：代數(shù)，幾何，分析以及其他。現(xiàn)在，這個數(shù)字增長到60～70，有些子學科比如代數(shù)或拓撲，可進一步分為子子學科，其他比如復分析或動力系統(tǒng)，則完全是新領(lǐng)域。數(shù)學自二十世紀八十年代以來爆炸式的增長，也革新了我們對數(shù)學的認識：數(shù)學是研究模式的科學。依據(jù)這個認識，數(shù)學的任務(wù)是界定并分析抽象的模式——數(shù)值的模式，形狀的模式，運動的模式，表現(xiàn)的模式，選舉的模式，可重復的隨機性的模式等等。這些模式可以是真實的，也可以是想象的，可以是可見的，也可以不可見，可以是靜態(tài)的，也可以是動態(tài)的，可以是定性的，也可以是定量的，可以是實用的，也可以是好玩的：從實際背景到思維創(chuàng)造，它們可以是世界的任何模式。不同的模式對應不同的數(shù)學分支，比如：
●代數(shù)與數(shù)論研究數(shù)和計數(shù)的模式
●幾何研究形狀的模式
●邏輯研究推理的模式
●概率研究隨機性的模式
●拓撲研究緊密度和位置關(guān)系的模式
●分形理論研究自然界自相似性的模式
Ⅱ 數(shù)學符號
各種天書般的符號——代數(shù)表達式，復雜的公式以及幾何圖表——是人們對現(xiàn)代數(shù)學的基本印象。數(shù)學家如此依賴抽象符號，某種程度反映了他們所研究的模式本身的抽象性。
現(xiàn)實世界不同的領(lǐng)域需要不同的表示方法，比如研究地形分布或者給初來乍到的人指路，最好是畫個地圖，而非文字說明。類似地，我們通過城市規(guī)劃圖來定位某個建筑，用曲譜記錄樂曲。
在分析處理各種抽象的模式和結(jié)構(gòu)時，數(shù)學的符號，概念以及程式被證明是最佳的選擇。比如我們熟知的加法和乘法的運算律，運用代數(shù)符號極其方便有效。我們以加法交換律為例：
(文字形式)兩數(shù)相加，順序無關(guān)
(代數(shù)形式)m n=n m
上述例子只是對數(shù)學抽象性的驚鴻一瞥。對大部分的數(shù)學分支，假如不用抽象的符號，數(shù)學將不可避免的繁復。也因此，符號系統(tǒng)伴隨數(shù)學的發(fā)展穩(wěn)步增長。
符號進入數(shù)學，一般歸功于法國數(shù)學家弗朗西斯·韋達。其實，公元250年亞歷山大里亞的丟番圖就已經(jīng)開始使用代數(shù)符號。他的十三卷經(jīng)典《算術(shù)》(現(xiàn)存6卷)公認是最早的代數(shù)教科書。在書中，丟番圖用特殊符號代表未知數(shù)，未知數(shù)的冪以及減法和等號。
現(xiàn)在的數(shù)學書充斥各種符號，但符號之于數(shù)學正如樂譜之于樂曲。一段譜子代表一段曲子，譜子只有被唱出來或者演奏出來才成為靈動的曲子，也就是說，樂曲存在于我們的思維中而非紙上。對數(shù)學而言，道理也是如此：符號只是數(shù)學的表示，當經(jīng)過專業(yè)人員(這里指受過數(shù)學訓練的人)的解讀，抽象的符號有了意義，數(shù)學如交響樂一樣回響在讀者的腦海中。
回到本節(jié)開頭，再次強調(diào)：數(shù)學符號的抽象在于數(shù)學對象本身的抽象。抽象的數(shù)學可以幫助我們理解世界的運行模式。1623年，伽利略寫道：
自然這本大書只有掌握它的語言的人方能讀懂，這語言就是數(shù)學。
事實上，物理學可以用數(shù)學語言精確地描述。我們用飛機的例子來說明，數(shù)學何以幫助我們理解物理定律。噴氣式飛機飛行時，我們是看不到任何向上托它的力量的，只有借助數(shù)學，我們才能理解那股隱形的力量。而這股力量，最早由十七世紀的伊薩克·牛頓所研究，經(jīng)過幾個世紀數(shù)學和工程的持續(xù)發(fā)展，我們終于能夠制造出實際的飛機。這個例子很好地凸顯了數(shù)學的力量：讓不可見變成可見。
Ⅲ 大學水準的數(shù)學
經(jīng)過前述對數(shù)學歷史的回顧，現(xiàn)在我們來說明大學數(shù)學與中學數(shù)學的本質(zhì)區(qū)別。
大約150年前，雖然當時的數(shù)學已遠遠拓展到數(shù)之外的范疇，但數(shù)學家依舊認為數(shù)學的本質(zhì)是計算，對數(shù)學的精通就意味著能夠做復雜計算或者熟練推演符號。大體上，中學數(shù)學正是在這樣的傳統(tǒng)觀念中建立起來。
直到19世紀，隨著數(shù)學家攻克更復雜的問題，他們發(fā)現(xiàn)直覺并不總是能引導下一步的研究，相反，之前為解決實際問題而發(fā)展出來的方法可能會引出違反直覺的結(jié)果，比如Banach-Tarski悖論就是一個例子。這個悖論講的是，理論上，我們可以把一個圓球用某種方式切成小塊然后重新組合，就能得到兩個(是兩個，你沒看錯)和原來一樣大小的圓球。
由此開始，數(shù)學邁入了只能在其內(nèi)部理解自身的新階段。(因為Banach-Tarski悖論在數(shù)學上無懈可擊，其結(jié)論雖然詭異，我們依舊要承認它)類似上述只能在數(shù)學上加以說明而不可能借助其他方式驗證的結(jié)果，促使數(shù)學家用數(shù)學方法來檢驗數(shù)學本身。
19世紀中期開始的這種“內(nèi)省”，讓數(shù)學家對數(shù)學有了全新認識：數(shù)學的重心不再是計算求解，而是理解抽象概念和關(guān)系，數(shù)學由強調(diào)“實操”轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅亍袄斫狻薄?shù)學對象不再局限于特定的函數(shù)，而是某一抽象性質(zhì)的載體，證明不僅僅是按照規(guī)則變換對象，而是從概念出發(fā)進行邏輯推演。
這次觀念革命，徹底改變了數(shù)學家對數(shù)學的看法。然而對數(shù)學家之外的人，世界依舊如常。人們真正感覺到變化，是從大學課程開始。比如說你是一個數(shù)學專業(yè)的大學生，初次接觸“新數(shù)學”，結(jié)果被折磨地死去活來，你很可能會問候狄利克雷，戴德金，黎曼以及所有其他發(fā)明這些該死的知識的人。
下面再用一個例子來說明這種轉(zhuǎn)變。十九世紀之前，數(shù)學家對函數(shù)的普遍看法是，諸如y=x2 3x-5這樣給定x生成y的式子是一個函數(shù)。然后逆天的狄利克雷出場，他說：忘掉那些式子吧，多想想函數(shù)的輸入-輸出機制。函數(shù)，就是能把一個數(shù)變成另一個數(shù)的法則。這法則，不必非得是代數(shù)表達式，甚至，都不必局限在數(shù)的范圍內(nèi)：只要能把一類事物變成另一類事物，這樣的法則就是函數(shù)。
依據(jù)這一看法，下面的定義就是一個函數(shù)：
x是有理數(shù)時，f(x)=0
x是無理數(shù)時，f(x)=1
試試畫一下這個函數(shù)的圖像！
由此開始，數(shù)學家轉(zhuǎn)向研究抽象函數(shù)的特征而非代數(shù)表達式，比如不同的起始值是否總能對應不同的函數(shù)值？(這樣的性質(zhì)叫做單射)
這條抽象的道路為數(shù)學其中一個分支的發(fā)展立下了汗馬功勞，這個分支即實分析。在實分析中，抽象函數(shù)的連續(xù)性與可導性是主要研究對象，所使用的“δ-ε(讀作“德爾塔-埃普西隆”)定義”，直到今天，仍然是微積分課程的攔路虎。
到十九世紀五十年代，黎曼根據(jù)可微性定義復函數(shù)，在此之前，偉大的高斯首次把帶運算的集合作為數(shù)學對象加以研究，由此定義了模剩余類。高斯思想的后繼者，戴德金，則進一步研究環(huán)，域和理想，而這些概念，也是帶某類運算的集合。
類似的變化，不一而足。
像大多數(shù)的變革一樣，十九世紀的這次轉(zhuǎn)變也有久遠的淵源。古希臘時期，數(shù)學就從單純的計算被提升到思維體操的高度，到十七世紀，微積分的另一發(fā)明人，萊布尼茨，則對數(shù)學的兩方面都進行了研究。即便如此，直到十九世紀數(shù)學還是被當作解決問題的手段。生活在今天的數(shù)學家可能很難感受當時的沖擊，而這場變革就這樣悄悄地發(fā)生，漸漸地被遺忘，默默地影響數(shù)學的走向。本書就是在這樣的背景下，懷著為讀者提供理解現(xiàn)代數(shù)學的思維工具的使命而誕生。
十九世紀后半頁的新數(shù)學成為大學數(shù)學的主旋律，但是高中的數(shù)學內(nèi)容沒有受到任何影響，正因如此，你需要一本這樣的書(《Introduction to Mathematical Thinking》)來完成思維的轉(zhuǎn)變。事實上，六十年代有過所謂的“新數(shù)學”運動，但大學數(shù)學系的精神被高中嚴重曲解，以致運動很快就被叫停。
對十八世紀的數(shù)學家而言，計算和理解同樣重要，十九世紀的革命只是二者孰重孰輕的區(qū)別。但六十年代高中老師的解讀卻是，“忘掉計算，專注理解”，這種荒謬的論調(diào)遭到數(shù)學家Tom Lehrer的嘲笑，他在自編的歌曲「新數(shù)學」中寫道：答案不知道，方法最重要。最終，“新數(shù)學運動”幾年后慘淡收場，退出高中。
自由社會的教育政策就是這樣，不知道未來會不會再來一次“新數(shù)學運動”？我們也不知道社會是否期待這樣的改變，教育界就學生是否應該先掌握計算技巧然后再作抽象研究還有廣泛的爭議。
Ⅳ 為什么你應該學數(shù)學
至此，你應該明白，數(shù)學在十九世紀的變革(從強調(diào)計算到注重理解)，只局限于以研究數(shù)學本質(zhì)為己任的數(shù)學家群體。對于大多數(shù)的科學家，工程師以及其他在日常工作中用到數(shù)學的人來說，數(shù)學只是計算工具，直到今天依舊如此。甚至，計算在今天的重要性和廣泛性遠超歷史的任何時期。
因此，在數(shù)學家之外的人看來，十九世紀的變革更像是內(nèi)容的擴張而非焦點的轉(zhuǎn)換。對于今天的大學生，學校期望他們不僅要掌握解決具體問題的技巧，同時也應清楚背后的思想并能從數(shù)學上證明他們所使用的方法。
這樣的要求是否過分？這難得不應該是數(shù)學家的事情么？對于那些只是為了找份好工作而不得不學數(shù)學的學生來說(比如工程類專業(yè))，為什么也如此高要求？
有兩個原因(劇透下：只有兩個，并且這兩個本質(zhì)上是同樣的意思)。
首先，教育不僅僅是職業(yè)培訓。作為人類偉大文明的成果之一，數(shù)學應該和科學，文學，藝術(shù)以及歷史一道，被當作文明珍寶而一代代傳承下來。我們學習不僅僅是為工作和職業(yè)，職業(yè)技能只是教育給予我們的很小一小部分。
這一條毋庸置疑，接下來我們說工作技能的原因。
眾所周知，很多工作需要數(shù)學技能。事實上，大多數(shù)行業(yè)對數(shù)學能力的要求遠非我們想象的那么簡單，這一點，找工作的同學會有深刻體會。
這些年的經(jīng)驗告訴我們，每一次產(chǎn)業(yè)升級都會產(chǎn)生巨大的人才缺口，這些人才必須具備相應的數(shù)學技能。實際上，如果更細致的考察這些技能，我們可以把它劃分為兩類。第一類，給定一個數(shù)學問題(即實際問題已經(jīng)被歸結(jié)為數(shù)學模型)，解決之。第二類，拋給一個實際問題，比如說制造問題，能否識別出關(guān)鍵因素并用數(shù)學語言表述出來(即建模)，然后解決之。
以往的情況是，社會對第一種技能需求巨大，對第二種需求很小。而數(shù)學教育能夠培養(yǎng)兼具兩種技能的人，雖然主要精力在培養(yǎng)第一種技能，但總會有人脫穎而出，掌握第二種技能。如此皆大歡喜。但在當今社會，隨著企業(yè)創(chuàng)新加快，第二種技能，即跳出數(shù)學框架來思考問題的能力，開始取代第一種技能的地位。頓時，一切都不好了。
掌握這種(第二種)技能的人，最關(guān)鍵的，是要對數(shù)學的力量，應用范圍，何時不可用何時可用以及如何應用有一個整體的認識。在此基礎(chǔ)上，他們還需掌握一定程度的，不一定非得精通的數(shù)學知識。更重要的是，他們能在跨領(lǐng)域的團隊中懂得合作，能夠從新的角度看問題，有快速學習能力，然后應用已知方法解決新問題。
那我們應如何培養(yǎng)這樣的學生？答案是：注重培養(yǎng)技巧背后的數(shù)學思想。古語有云，授人以魚，不如授之以漁。對新時代的數(shù)學教育而言，道理也是如此。因為我們有太多的數(shù)學知識，并且新的還在不停增加，小學到大學的16年時間里，不可能全部掌握。即便掌握了，等到大學畢業(yè)開始工作時，有些知識已經(jīng)過時，新的知識又成了風尚。因此，數(shù)學教育應該教會學生如何學習。
十九世紀數(shù)學內(nèi)部激增的復雜性引發(fā)了數(shù)學從計算到概念理解的變革，150年之后的今天，在社會變革是由更復雜的數(shù)學所推到的背景下，數(shù)學那一次變革的重要性就不僅僅是對數(shù)學家，而是對所有想應用數(shù)學的人！
到現(xiàn)在你應該明白，為什么十九世紀的數(shù)學家要轉(zhuǎn)換焦點，同時也應明白，為什么五十年代以來的大學生不僅要會計算也得掌握背后原理。換句話說，你應該明白了大學之所以逼著你學數(shù)學的良苦用心，比如能夠順利讀完這本書。最后，希望你能夠意識到數(shù)學對你人生的價值，而不僅僅是通過數(shù)學考試這么簡單。
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