一、分類計數原理和分步計數原理
1.分類計數原理(加法原理)
完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有M1種不同的方法，在第2類辦法中有M2種不同的方法，…，在第n類辦法中有Mn種不同的方法，那么完成這件事共有：
N=M1+M2+M3+Mn種不同的方法。
2.分步計數原理(乘法原理)
完成一件事，要分成n個步驟，在第1步中有M1種不同的方法，在第2步中有M2種不同的方法，…，在第n步中有Mn種不同的方法，那么完成這件事共有：
N=M1×M2×M3×Mn種不同的方法。
注：分類計數原理分步計數原理區別
分類計數原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。
分步計數原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件。
二、排列組合公式
1.階乘
階乘：一個正整數的階乘（factorial）是所有小于及等于該數的正整數的積，并且0的階乘為1。自然數n的階乘寫作n!。
n!=n×（n-1）×（n-2）×（n-3）×…×2×1
階乘例如：5！=5×4×3×2×1
知道了階乘，排列組合公式就會計算了。
公式描述：公式中A(n,m)為排列數公式，C(n,m)為組合數公式。
2.排列的定義
從n個不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數,下同）個不同的元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號 A(n,m)或
表示。
排列公式的計算舉例。
A（5,3）=5！/(5-3)!=5×4×3=60
（即：從5個里面選3個進行排列，有60種排列方法）
3.組合的定義
從n個不同元素中，任取m(m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號 C(n,m) 或
表示。
組合計算舉例：
C（5,3）=A（5,3）/3!=60/6=10
（即：從5個里面選3個進行組合，有10種組合方法）
三、排列組合17種解題技巧
解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:
（1）認真審題弄清要做什么事。
（2）怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多少步及多少類。
（3）確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數是多少及取出多少個元素。
（4）解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略。
例題小測
例題1、由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數。
例題2、有 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法。
例題3、一個晚會的節目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節目不能連續出場,則節目的出場順序有多少種？
例題4、有7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定，共有多少不同的排法。
例題5、把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法？
例題6、有 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?
例題7、有8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？
例題8、有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法？
例題9、用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中恰有兩個偶數夾在1,５兩個奇數和另外一個奇數之間,這樣的五位數有多少個？
例題10、有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？
例題11、從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為不小于10的偶數,不同的 取法有多少種？
例題12、6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
例題13、在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現要演出一個2人唱歌2人伴舞的節目,有多少選派方法。
例題14、馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？
例題15、設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法？
例題16、數字30030能被多少個不同的偶數整除？
例題17、 25人排成5×5方陣,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？
1.特殊元素和特殊位置優先策略
例題1、由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數。
解題思路：
（1）先排個位共有
，從1、3、5三個中選一個構成個位。
（2）然后排萬位共有
，萬位不能為0，個位已經選了一個，只剩下4個數可以選，所以四選1。
（3）最后排其它位置共有
，萬位和個位選了2個了，剩下4個數填充到十位、百位和千位，順序可以打亂，所以從4個數中選擇3個進行排列。
由分步計數原理得
=288，即可以組成288種沒有重復的五位奇數。
圖示：
注意：位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件。
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？
2.相鄰元素捆綁策略
例題2、有 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法。
解題思路：可先將甲乙兩元素捆綁并在內部排列A（2,2）成整體并看成一個復合元素，同時丙丁捆綁并在內部排列A（2,2）也看成一個復合元素，再與其它3個元素進行排列A（5,5）。
由分步計數原理可得共有
=480種不同的排法。
圖示：
注意：要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也必須排列。
3.不相鄰問題插空策略
例題3、一個晚會的節目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節目不能連續出場,則節目的出場順序有多少種？
解題思路：分兩步進行
第一步排2個相聲和3個獨唱共有
種。
第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種
不同的方法；（插空：在六個空里面，插入4個元素進行排列）。
由分步計數原理,節目的不同順序共有
種。
注意：元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端。
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：（1）某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個新節目插入原節目單中，且兩個新節目不相鄰，那么不同插法的種數為
（2）某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為
（3）（插空法）某人射擊8槍，命中4槍（無差異），4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數為 20 。
4.定序問題倍縮空位插入策略
例題4、有7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定，共有多少不同的排法。
解題思路：(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數,則共有不同排法種數是：
。 (空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有
種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有
種方法。
5.重排問題求冪策略
例題5、把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法？
解題思路：完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計數原理共有
種不同的排法。
注意：允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數為
種。
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法。
參考：
6.環排問題線排策略
例題6、有 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?
解題思路：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法，即7！
圖示：
注意：一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有：
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 ？
參考：120
7.多排問題直排策略
例題7、有8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？
解題思路：8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排。
前排2個特殊元素有
種,
再排后4個位置上的特殊元素丙有
種,
其余的5人在5個位置上任意排列有
種,
則共有
種。
圖示：
注意：一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究.
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是 。
參考：346
8.排列組合混合問題先選后排策略
例題8、有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法？
解題思路：第一步：從5個球中選出2個組成復合元共有
種方法。
第二步：再把4個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內有
種方法。
根據分步計數原理裝球的方法共有：
種方法。
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：一個班有6名戰士,其中正副班長各1人現從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有 種。
參考：192
9.小集團問題先整體后局部策略
例題9、用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中恰有兩個偶數夾在1,５兩個奇數和另外一個奇數之間,這樣的五位數有多少個？
解題思路：
把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有種A(2,2)排法，再排小集團內部共有A(2,2)A(2,2)種排法，由分步計數原理共有A(2,2)A(2,2)A(2,2)種排法。
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：（1）計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫, 排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數為（ ）。
參考：
（2）5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有（ ）
參考：
10.元素相同問題隔板策略
例題10、有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？
解題思路：
因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有
種分法。
圖示：
注意：將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數為
。
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？
參考：
11.正難則反總體淘汰策略
例題11、從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為不小于10的偶數,不同的 取法有多少種？
解題思路：這問題中如果直接求不小于10的偶數很困難,可用總體淘汰法。這十個數字中有5個偶數5個奇數,所取的三個數含有3個偶數的取法有
,只含有1個偶數的取法有
,和為偶數的取法共有
+
。
再淘汰和小于10的偶數共9種，符合條件的取法共有
+
-9。
注意：有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰。
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種?
12.平均分組問題除法策略
例題12、6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解題思路：分三步取書得
種方法,但這里出現重復計數的現象,不妨記6本書為ABCDEF，若第一步取A
B,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則
中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有
種
取法 ,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有
/
種分法。
注意：平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以
(n為均分的組數)避免重復計數。
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：（1）將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊, 有多少分法？
參考：
（2）10名學生分成3組,其中一組4人, 另兩組3人，但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法 ？
參考：1540
（3）某校高二年級共有六個班級，現從外地轉 入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數為______
參考：
13.合理分類與分步策略
例題13、在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現要演出一個2人唱歌2人伴舞的節目,有多少選派方法。
解題思路：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究：
只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有
種。
只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員
種。
只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有
種。
由分類計數原理共有
+
+
種。
本題還有如下分類標準：
*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準
*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準
*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準
都可經得到正確結果
注意：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發生的連續過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：（1）從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有（）
參考：34種
（2）3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人, 2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們任選2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船, 這3人共有多少乘船方法（ ）。
參考：27種
14.構造模型策略
例題14、馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？
解題思路：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有
種。
注意：一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決。
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120）
15.實際操作窮舉策略
例題15、設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法？
解題思路：從5個球中取出2個與盒子對號有
種，還剩下3球和3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球, 3,4,5號盒，3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法。得到兩種裝法。
由分步計數原理有2
種。
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：（1）同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？
參考：9種。
（2）給圖中區域涂色,要求相鄰區 域不同色,現有4種可選顏色,則不同的著色方法有（ 72 ）種。（考慮3、4不同色+3、4同色/2）
16.分解與合成策略
例題16、數字30030能被多少個不同的偶數整除？
解題思路：先把30030分解成質因數的乘積形式30030=2×3×5×7×11×13
依題意可知偶因數必先取2,再從其余5個因數中任取若干個組成乘積，
所有的偶因數為：
趁熱打鐵，小試牛刀：
模擬題：正方體的8個頂點可連成多少對異面直線（既不相交又不平行的兩條線）。
解題思路：我們先從8個頂點中任取4個頂點構成四體共有體共
,每個四面體有3對異面直線,正方體中的8個頂點可連成對異面直線3×58=174對異面直線。
17.化歸策略
例題17、 25人排成5×5方陣,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？
解題思路：將這個問題退化成9人排成3×3方陣,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法。
這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，如此繼續下去.從3×3方隊中選3人的方法有
種。
再從5×5方陣選出3×3方陣便可解決問題.從5×5方隊中選取3行3列有
選法，所以從5×5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有
選法。
注意：處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題
其他例題：有10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？
參考答案：
