作者 | 劉瑞祥
來源 | 數學賞析
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眾所周知，由于畢達哥拉斯學派發現了“不可公度量”（無理數），所以這個學派的信條——萬物皆數——破產了，并且引發了第一次數學危機。這一危機最開始的表現就是，原來以為邏輯上完備的證明（比如說等高三角形的面積比等于底的比）變得不完備了。古希臘數學家歐多克斯建立了新的比例論，一方面挽救了古希臘數學，另一方面造成了古希臘重幾何輕算術的傾向。直到現代實數理論建立以后，才徹底解決了無理數的問題。《幾何原本》吸收了歐多克斯比例論的內容，并將其完善成一個得力的工具，下面簡單談談比例論在《幾何原本》中的作用。
一、關于比例的定義
1、第五卷定義5：有四個量，第一量比第二量與第三量比第四量叫做相同比，如果對第一與第三個量取任何同倍數，又對第二與第四個量取任何同倍數，而第一與第二倍量之間依次有大于、等于或小于的關系，那么第三與第四倍量之間便有相應的關系。
（這就是歐多克斯所給出的比例定義，用現代話來說就是：設a、b是同類的兩個量，c、d也是同類的兩個量，對任何的整數m與n，若三個關系式ma?nb之一成立時，必有mc?nd中對應的那個成立，則說a比b與c比d有相同的比。即四個量成比例，稱為a比b如同c比d。）
注：ma?nb 是 ma>nb 或 ma=nb 或 ma<nb三個關系的簡寫。
2、第七卷定義20：當第一數是第二數的某倍、某一部分或某幾部分，與第三數是第四的同一倍、同一部分或相同的幾部分，稱這四個數是成比例的。
（例如有四個數8、4、6、3，其中8是4的二倍，6是3的二倍，則這四個數成比例，記作 ， 或8:4=6:3；又有四個數2、6、3、9，其中2是6的三分之一，3是9的三分之一，記作，或2:6=3:9；又設四個數4、6、20、30，4是6的三分之二，20是30的三分之二，記作，或4:6=20:30。）
以上兩個定義在正整數的范圍內是一致的，歐幾里得在第十卷證明了這一點：
第十卷命題5：兩個可公度量的比如同一個數比一個數。
第十卷命題6：若兩個量的比如同一個數比一個數，則這兩個量將是可公度的。
在第五卷里《原本》給出了更比、反比、合比、分比、首末比、二次比、三次比等定義，然后分別證明了這些比例是成立的。
二、比例的作用
比例論在《幾何原本》里主要有四方面的作用，下面分別舉例說明：
1、實現等式的恒等變形
主要依據如下：
第五卷命題4：如果第一量比第二量與第三量比第四量有相同的比，取第一量與第三量的任意同倍量，又取第二量與第四量的任意同倍量，則按順序它們仍有相同的比。
第五卷命題5：如果第一量是第二量倍量，而且第一個量減去的部分是第二個部分減去的部分的倍量，其倍數相等。則剩余部分是剩余部分的倍量，整體是整體的倍量，其倍數相等。
第五卷命題6：如果兩個量是另外兩個量的同倍量，而且由前二量中減去后兩個量的任何同倍量，則剩余的兩個量或者與后兩個量相等，或者是它們的同倍量。
第五卷命題12：如果有任意多個量成比例，則其中一個前項比相應的后項如同所有前項的和比所有后項的和。
第五卷命題16：如果四個量成比例，則它們的更比例也成立。
第五卷命題17：如果幾個量成合比例，則它們也成分比例。
第五卷命題18：如果幾個量成分比例，則它們也成合比例。
第五卷命題19：如果整體比整體如同減去的部分比減去的部分，則剩余部分比剩余部分如同整體比整體。
第五卷命題22：如果有任意多個量，又有個數與它們相同的一些量，各組每取兩個相應的量都有相同的比，則它們成首末比例。
第五卷命題23：如果有三個量，又有個數與它們個數相同的三個量，在各組每取兩個相應的量都有相同的比，它們組成波動比例，則它們也成首末比例。
第五卷命題24：如果第一量比第二量與第三量比第四量有相同的比，且第五量比第二量與第六量有相同的比。則第一量與第五量的和比第二量，第三量與第四量的和比第四量有相同的比。
我們以下面的命題作為代表：
第七卷命題9：如果一個數是另一個數的一部分，而另一個數是另一個數的同樣的一部分，則取更比后，無論第一個是第三個的怎樣的幾部分或一部分，那么第二個也是第四個同樣的幾部分或一部分。
2、利用比的傳遞性得到新的等式
利用到比例的命題，大多數用到了這種方法，具體依據如下，特別是下面的第三個命題：
第五卷命題7：相等的量比同一個量，其比相同；同一個量比相等的量，其比相同。
第五卷命題9：幾個量與同一個量的比相同，則這些量彼此相等；且同一個量與幾個量的比相同，則這些量相等。
第五卷命題11：凡與同一個比相同的比，它們也彼此相同。
下面的命題明顯用到了比的傳遞性：
第六卷命題21：與同一直線形相似的圖形，它們彼此也相似。
第十一卷命題17：如果兩直線被平行平面所截，則截得的線段有相同的比。
3、實現“線”和“面”的量的關系的轉化
第六卷命題1：等高的三角形或平行四邊形，它們彼此相比如同它們的底的比。
第六卷命題2：如果一條直線平行于三角形的一邊，則它截三角形的兩邊成比例線段；又，如果三角形的兩邊被截成比例線段，則截點的連線平行于三角形的另一邊。
第六卷命題14：在相等且等角的平行四邊形中，夾等角的邊成互逆比例；在等角平行四邊形中，若夾等角的邊成互反比例，則它們相等。
第六卷命題16：如果四條線段成比例，則兩外項構成的矩形等于兩內項構成的矩形；并且如果兩外項構成的矩形等于兩內項構成的矩形，則四條線段成比例。
第六卷命題19：相似三角形互比如同其對應邊的二次比。
第六卷命題23：角各相等的平行四邊形相比如同它們邊的比的復比。
4、為窮竭法提供支持
窮竭法的理論依據是：給出兩個不相等的量，若從較大的量中減去一個大于它的一半的量，再從所得的余量中減去大于這個余量一半的量，并且連續這樣進行下去，則必得一個余量小于較小的量。
窮竭法是《原本》中重要的理論支柱，但這里提到“從較大的量中減去一個大于它的一半的量”，怎么保證所減去的量比大量的一半還大呢？就需要以下的命題：
第五卷命題8：有不相等的二量與同一量相比，較大的量比這個量大于較小的量比這個量，反之，這個量比較小的量大于這個量比較小的量。
當然，比例論在《原本》里還用來證明不等量的關系和體積問題，不過這和前面所講的應用類似，就不專門說了。
