復(fù)數(shù)
復(fù)數(shù)就是形如x+iy的數(shù)字，其中x和y是實(shí)數(shù)，i^2=-1。實(shí)數(shù)x和y分別稱為z的實(shí)部和虛部，表示為：
如果z=x+iy，則z?=x-iy稱為z的復(fù)共軛。很容易得出：
定理（1）
對(duì)于復(fù)數(shù)z和w，有以下7個(gè)性質(zhì)：
笛卡爾和指數(shù)形式
復(fù)數(shù)可以繪制在一個(gè)矩形網(wǎng)格上，類似于實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）被繪制在一個(gè)直角坐標(biāo)系統(tǒng)上。你可以簡(jiǎn)單地用一對(duì)實(shí)數(shù)(x,y)來確定復(fù)數(shù)z=x+iy，并繪制（x，y）。y軸稱為虛軸，x軸稱為實(shí)軸。
也可以用極坐標(biāo)（θ， r）來表示：
定理（2）（很重要）
對(duì)于復(fù)數(shù)z=x+iy，
多項(xiàng)式方程的根
設(shè)p_n(x)和q_n(x)為n次多項(xiàng)式，可以假設(shè)p_n(x)的形式為：
系數(shù)a_i可能不是實(shí)數(shù)，但在本系列文章中它們總是實(shí)數(shù)。在任何情況下，代數(shù)基本定理表明，方程p_n(x)=0有n個(gè)解。
假設(shè)x=r是p_n(x)的根。那么：
如果p_n(x)除以x-r，就得到恒等式：
其中R為常數(shù)，q_(n-1)(x)為n-1次多項(xiàng)式。因此，
但上面的式子是關(guān)于x的恒等式，通過令x=r，我們可以得到r =0當(dāng)且僅當(dāng)p_n(r)=0，也就是說，當(dāng)且僅當(dāng)r是p_n(x)的根。
定理（3）
對(duì)于每一個(gè)多項(xiàng)式
存在n個(gè)復(fù)數(shù)r_1， r_2，…，r_n，稱為多項(xiàng)式的根，使得
- P_n (r_i)=0，對(duì)于所有i=1，2，…，n
- p_n(x)=(x-r_1)(x-r_2)…(x-r_n)
而且，對(duì)于一些i，如果p_n(r)=0，則r=r_i。
定理（4）
假設(shè)r=a+ib, b≠0，是下面多項(xiàng)式的根
那r的共軛（ r?=a-ib）也是多項(xiàng)式的一個(gè)根。
矩陣表示
矩陣是一組數(shù)字的矩形數(shù)組。一般來說，矩陣用黑體字大寫字母表示。我們用A來表示p×q矩陣，它的元素是a_ij。也就是
只有一列的矩陣稱為向量。我們用黑體小寫字母來表示向量，這與我們對(duì)矩陣的約定一致。A的列向量就是
對(duì)于聯(lián)立方程組
系數(shù)矩陣為
右邊常數(shù)用向量b表示：
增廣矩陣B由A和b表示：
未知量用向量x表示：
行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣稱為方陣。方陣的非對(duì)角元素是a_ij，其中i≠j。非對(duì)角元素都為零的方陣稱為對(duì)角陣。
I_n矩陣（其中n是正整數(shù)），是所有對(duì)角元素都是1的對(duì)角矩陣。這些矩陣稱為單位矩陣。所以：
是單位矩陣。I_n的列被賦予特殊的符號(hào)e_1，e_2，…，e_n；也就是：
當(dāng)上下文明確了I_n的大小時(shí)，就可以去掉下標(biāo)n。那些位于對(duì)角線以下的非對(duì)角線項(xiàng)為零的方陣稱為上三角矩陣（上三角矩陣同理可得）。
我們定義0矩陣O_n為nXn矩陣，它所有的元素都是0。所以O_n也是對(duì)角線。
方程組的解
我們可以用消元法來解方程組。注意消去過程很大程度上依賴于每個(gè)方程中未知變量的系數(shù)。
把方程組的系數(shù)和方程組右邊的常數(shù)放在一起得到一個(gè)增廣矩陣。化簡(jiǎn)這個(gè)增廣矩陣可以得到方程組的解。注意，當(dāng)系數(shù)矩陣簡(jiǎn)化為單位矩陣時(shí)，右邊的系數(shù)列就是解向量。
從矩陣A到矩陣B的算術(shù)步驟叫做初等行運(yùn)算。這些運(yùn)算分為三種類型：
- 交換任意兩行。
- 將一行乘以一個(gè)非零標(biāo)量。
- 將一行的α倍添加到另一行的β倍。
這里的關(guān)鍵點(diǎn)是初等行運(yùn)算用另一個(gè)方程組替換了一個(gè)方程組，后者的解集與前者的解集相同。這種解法稱為高斯消去法。
矩陣代數(shù)
設(shè)m×n矩陣A和B為：
對(duì)于所有的i和j，如果a_ij=b_ij，則A=B。因此，兩個(gè)矩陣相等，意味著矩陣相應(yīng)項(xiàng)相等。
我們現(xiàn)在定義矩陣A+B和矩陣與任意標(biāo)量k的乘法：
由上面的定義可以得到下列代數(shù)規(guī)則：
- A+B=B+A
- A+(B+C)=(A+B)+C
- A+O=A
- A+(-1)A=O
- 0A=O
- k(hA)=(kh)A
- k(A+B)=kA+kB
- (k+h)A=kA+hA
用第一列替換第一行，用第二列替換第二行，以此類推，直到所有的列都變成行。由這個(gè)交換得到的矩陣稱為原矩陣的轉(zhuǎn)置，[a_ij]^T=[a_ji]。我們用A^T來表示A的轉(zhuǎn)置。
一個(gè)向量的轉(zhuǎn)置是一個(gè)只有一行的矩陣，有時(shí)稱為行向量。為了避免混淆，我們用逗號(hào)分隔行向量的各個(gè)元素。
請(qǐng)注意，轉(zhuǎn)置和加法的定義引出了這樣的結(jié)論：C=A+B意味著C^T=A^T+B^T。
如果矩陣A等于它自己的轉(zhuǎn)置，即A^T=A，那么它就是對(duì)稱的；如果A^T=-A，那么它是反對(duì)稱的。對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣必須是方陣。
矩陣乘法
如果A是m×q矩陣，元素為a_ij ；B是q×n矩陣，元素為b_ij，那么乘積C=AB是m×n矩陣，c_ij為：
為了使上面的定義有意義，A的每一行必須有和B的每一列有一樣多的元素。這意味著A的列數(shù)必須與B的行數(shù)相同。
因此，如果A是2×3矩陣, B是3×3矩陣，那么AB是有定義的，而BA沒有定義。因此矩陣乘法是不滿足交換律的。
以下事實(shí)適用于所有大小兼容的A、B和C：
- A(BC)=(AB)C
- A(A+C)=AB+AC
- (B+C)A=BA+CA
能說明矩陣乘法的特性的一個(gè)例子：
這表明即使A和B都不為0，AB也可以是0。
兩個(gè)矩陣乘積的轉(zhuǎn)置，是它們轉(zhuǎn)置的逆序乘積：
這個(gè)結(jié)果擴(kuò)展到三個(gè)或更多個(gè)矩陣的乘積。
矩陣乘法提供了一種將方程組寫成緊湊形式的方法。
上面可以寫成Ax=b。我們將反復(fù)使用這個(gè)表達(dá)。在不明確A的大小的情況下，我們假設(shè)A是m×n，因此x是一個(gè)有n個(gè)元素的向量，b是一個(gè)有m個(gè)元素的向量，盡管在大多數(shù)應(yīng)用中m=n。
矩陣的逆
為了達(dá)到類似的目的，我們引入了矩陣逆的符號(hào)。如果存在一個(gè)方陣B，使AB=I=BA，那么方陣A就是非奇異的，或者說有一個(gè)逆，或者說是可逆的。很明顯，不是所有的矩陣都有逆矩陣。
由于A的逆矩陣只有一個(gè)，所以如果AB=I=BA成立，我們稱B為A的逆矩陣，并將B寫成A^(-1)。用這種表示法，AB=I=BA可以寫成AA^(-1)=(A^(-1))(A)=I。
一個(gè)不可逆的方陣就是一個(gè)A^(-1)不存在的方陣。這樣的矩陣稱為奇異或不可逆矩陣。
如果A是2×2矩陣
且ad-bc≠0，那么
定理（5）
假設(shè)A和B都是可逆的。那么
- (A^(-1))^(-1)=A
- (AB)^(-1)=(B^(-1))(A^(-1))
- (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T
定理（6）
假設(shè)A是可逆的。那么Ax=b有且只有一個(gè)解，x=A^(-1)b。
結(jié)論（1）
當(dāng)且僅當(dāng)A是奇異陣時(shí)，方程組Ax=0有解x≠0。當(dāng)且僅當(dāng)A是可逆的，這個(gè)方程組只有解x=0。
行列式
定義與基本定理
A的行列式是一個(gè)只在方陣中定義的標(biāo)量，記作det(A)。它有n的階乘項(xiàng)，每一項(xiàng)是A的元素的正負(fù)乘積：
其中第二個(gè)下標(biāo)，由?表示，是數(shù)字{1，2，…，n}之一，其中沒有一個(gè)被使用兩次。指數(shù)k是第二個(gè)下標(biāo)的逆序數(shù)。因此，
由于數(shù)字{1，2，…，n}的每個(gè)排列都有一項(xiàng)，所以上面的和包含n的階乘項(xiàng)。由于這個(gè)原因，實(shí)際上并不使用上面的求和來計(jì)算。如果n=2，定義是容易使用的，
有兩種常用的det(A)的求值方法。在本節(jié)中，我們將探討最高效的方法。該方法依賴于兩個(gè)基本定理：
定理（7）
如果A是上或下三角矩陣，對(duì)角元素為a_11，a_22，…，a_nn，那么det(A)=(a_11)(a_22)…(a_nn)。
定理（8）
設(shè)A是一個(gè)方陣。
- 如果A的兩行元素互換形成B，那么，det(A)=-det(B)
- 如果A的一行乘以k得到B，那么kdet(A)=det(B)
- 如果A的一行的倍數(shù)加到A的另一行形成B, 那么det(A)=det(B)
這兩個(gè)定理為計(jì)算行列式提供了一種有效的方法。注意，定理8描述了初等行運(yùn)算對(duì)det(A)的影響。
我們可以快速準(zhǔn)確地計(jì)算初等行變換的結(jié)果。所以對(duì)于含有已知常數(shù)項(xiàng)的矩陣，行化成三角矩陣是計(jì)算行列式的首選方法。對(duì)于有參數(shù)項(xiàng)的矩陣，通常使用其他方法。
由于矩陣乘法和行列式的定義復(fù)雜，乘積的行列式和行列式的乘積之間存在著一種簡(jiǎn)單的關(guān)系：
定理（9）
如果A和B是方陣，det(AB)=det(A)det(B)
如果det(A)=0，那么A一定是奇異的。反之亦然。
定理（10）
det(A)=0是A是奇異的一個(gè)充要條件。
定理（11）
對(duì)于每個(gè)方陣A，det(A)=det(A^T)
余子式與代數(shù)余子式
a_ij的余子式是，去掉A的第i行和第j列形成的矩陣的行列式。
a_ij的代數(shù)余子式寫成A_ij，等于余子式乘以 (-1)^(i+j)。代數(shù)余子式的重要性是由于以下的重要定理：
定理（12）
對(duì)于每個(gè)i和j，
線性獨(dú)立（線性無關(guān)）
方程組Ax=0可以有無窮多個(gè)解。為了描述這種系統(tǒng)的所有解的集合，我們必須首先理解線性無關(guān)的概念。
假設(shè)已知k個(gè)向量a_1， a_2，…，a_k和k個(gè)標(biāo)量c_1 ，c_2…，c_k。考慮到表達(dá)式
不是全部為零如果上面的方程對(duì)某些標(biāo)量成立（不是全部為零），那么向量a_1，a_2，…，a_k就是線性相關(guān)的，標(biāo)量c_1，c_2，…，c_k就叫作權(quán)值。由上式可知
其中 c_1≠0。上面的方程表明a_1是其他向量的“加權(quán)和”。
如果一個(gè)給定的向量組不是線性相關(guān)的，那么它稱為線性無關(guān)的。由于線性無關(guān)的集合不可能存在依賴關(guān)系，
意味著所有的標(biāo)量系數(shù)必須是零。
一般來說，我們不能輕易判定一個(gè)向量組是否是線性無關(guān)的，也不能輕易求出權(quán)值（如果向量組是線性相關(guān)的）。
但我們可以把上式重寫為矩陣向量的形式，為此，定義一個(gè)矩陣A，它的列是向量a_1，a_2，…，a_k，它的項(xiàng)的權(quán)值是c_1，c_2，…，a_k。因此：
根據(jù)矩陣乘法的定義：
因此，當(dāng)且僅當(dāng) Ac=0存在非零解時(shí)，矩陣A的列向量才是線性無關(guān)的。那么，c的元素就是權(quán)值。
如果矩陣A是方陣，那么基于線性相關(guān)的行列式的判據(jù)是可能和方便的。基本的思想是：如果A是可逆的，那么推論1，系統(tǒng)Ac+0只有平凡解，因?yàn)?/span>
證明了c一定是0。下面的定理將det(A)與A的行和列的線性無關(guān)聯(lián)系起來。
定理（13）
當(dāng)且僅當(dāng)det(A)≠0時(shí)，n×n矩陣A的行(列)是線性無關(guān)的。
