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解向量和基礎(chǔ)解系區(qū)別(基礎(chǔ)解系與解向量的區(qū)別)

復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)就是形如x+iy的數(shù)字,其中xy是實(shí)數(shù),i^2=-1。實(shí)數(shù)xy分別稱為z的實(shí)部和虛部,表示為:

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如果z=x+iy,則z?=x-iy稱為z的復(fù)共軛。很容易得出:

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定理(1)

對(duì)于復(fù)數(shù)zw,有以下7個(gè)性質(zhì):

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笛卡爾和指數(shù)形式

復(fù)數(shù)可以繪制在一個(gè)矩形網(wǎng)格上,類似于實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)被繪制在一個(gè)直角坐標(biāo)系統(tǒng)上。你可以簡(jiǎn)單地用一對(duì)實(shí)數(shù)(x,y)來確定復(fù)數(shù)z=x+iy,并繪制(x,y)。y軸稱為虛軸,x軸稱為實(shí)軸。

也可以用極坐標(biāo)(θ, r)來表示:

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定理(2)(很重要)

對(duì)于復(fù)數(shù)z=x+iy,

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多項(xiàng)式方程的根

設(shè)p_n(x)和q_n(x)為n次多項(xiàng)式,可以假設(shè)p_n(x)的形式為:

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系數(shù)a_i可能不是實(shí)數(shù),但在本系列文章中它們總是實(shí)數(shù)。在任何情況下,代數(shù)基本定理表明,方程p_n(x)=0有n個(gè)解。

假設(shè)x=r是p_n(x)的根。那么:

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如果p_n(x)除以x-r,就得到恒等式

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其中R為常數(shù),q_(n-1)(x)為n-1次多項(xiàng)式。因此,

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但上面的式子是關(guān)于x的恒等式,通過令x=r,我們可以得到r =0當(dāng)且僅當(dāng)p_n(r)=0,也就是說,當(dāng)且僅當(dāng)r是p_n(x)的根。

定理(3)

對(duì)于每一個(gè)多項(xiàng)式

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存在n個(gè)復(fù)數(shù)r_1, r_2,…,r_n,稱為多項(xiàng)式的根,使得

  1. P_n (r_i)=0,對(duì)于所有i=1,2,…,n
  2. p_n(x)=(x-r_1)(x-r_2)…(x-r_n)

而且,對(duì)于一些i,如果p_n(r)=0,則r=r_i。

定理(4)

假設(shè)r=a+ib, b≠0,是下面多項(xiàng)式的根

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那r的共軛( r?=a-ib)也是多項(xiàng)式的一個(gè)根。

矩陣表示

矩陣是一組數(shù)字的矩形數(shù)組。一般來說,矩陣用黑體字大寫字母表示。我們用A來表示p×q矩陣,它的元素是a_ij。也就是

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只有一列的矩陣稱為向量。我們用黑體小寫字母來表示向量,這與我們對(duì)矩陣的約定一致。A的列向量就是

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對(duì)于聯(lián)立方程組

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系數(shù)矩陣為

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右邊常數(shù)用向量b表示:

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增廣矩陣BAb表示:

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未知量用向量x表示:

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行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣稱為方陣。方陣的非對(duì)角元素是a_ij,其中i≠j。非對(duì)角元素都為零的方陣稱為對(duì)角陣

I_n矩陣(其中n是正整數(shù)),是所有對(duì)角元素都是1的對(duì)角矩陣。這些矩陣稱為單位矩陣。所以:

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是單位矩陣。I_n的列被賦予特殊的符號(hào)e_1,e_2,…,e_n;也就是:

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當(dāng)上下文明確了I_n的大小時(shí),就可以去掉下標(biāo)n。那些位于對(duì)角線以下的非對(duì)角線項(xiàng)為零的方陣稱為上三角矩陣(上三角矩陣同理可得

我們定義0矩陣O_n為nXn矩陣,它所有的元素都是0。所以O_n也是對(duì)角線。

方程組的解

我們可以用消元法來解方程組。注意消去過程很大程度上依賴于每個(gè)方程中未知變量的系數(shù)。

把方程組的系數(shù)和方程組右邊的常數(shù)放在一起得到一個(gè)增廣矩陣。化簡(jiǎn)這個(gè)增廣矩陣可以得到方程組的解。注意,當(dāng)系數(shù)矩陣簡(jiǎn)化為單位矩陣時(shí),右邊的系數(shù)列就是解向量

從矩陣A到矩陣B的算術(shù)步驟叫做初等行運(yùn)算。這些運(yùn)算分為三種類型:

  1. 交換任意兩行。
  2. 將一行乘以一個(gè)非零標(biāo)量。
  3. 將一行的α倍添加到另一行的β倍。

這里的關(guān)鍵點(diǎn)是初等行運(yùn)算用另一個(gè)方程組替換了一個(gè)方程組后者的解集與前者的解集相同。這種解法稱為高斯消去法

矩陣代數(shù)

設(shè)m×n矩陣AB為:

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對(duì)于所有的i和j,如果a_ij=b_ij,則A=B。因此,兩個(gè)矩陣相等,意味著矩陣相應(yīng)項(xiàng)相等。

我們現(xiàn)在定義矩陣A+B和矩陣與任意標(biāo)量k的乘法:

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由上面的定義可以得到下列代數(shù)規(guī)則:

  1. A+B=B+A
  2. A+(B+C)=(A+B)+C
  3. A+O=A
  4. A+(-1)A=O
  5. 0A=O
  6. k(hA)=(kh)A
  7. k(A+B)=kA+kB
  8. (k+h)A=kA+hA

用第一列替換第一行,用第二列替換第二行,以此類推,直到所有的列都變成行。由這個(gè)交換得到的矩陣稱為原矩陣的轉(zhuǎn)置,[a_ij]^T=[a_ji]。我們用A^T來表示A的轉(zhuǎn)置。

一個(gè)向量的轉(zhuǎn)置是一個(gè)只有一行的矩陣,有時(shí)稱為行向量。為了避免混淆,我們用逗號(hào)分隔行向量的各個(gè)元素。

請(qǐng)注意,轉(zhuǎn)置和加法的定義引出了這樣的結(jié)論:C=A+B意味著C^T=A^T+B^T。

如果矩陣A等于它自己的轉(zhuǎn)置,即A^T=A,那么它就是對(duì)稱的;如果A^T=-A,那么它是反對(duì)稱的。對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣必須是方陣。

矩陣乘法

如果A是m×q矩陣,元素為a_ij ;B是q×n矩陣,元素為b_ij,那么乘積C=AB是m×n矩陣,c_ij為:

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為了使上面的定義有意義,A的每一行必須有和B的每一列有一樣多的元素。這意味著A的列數(shù)必須與B的行數(shù)相同。

因此,如果A是2×3矩陣, B是3×3矩陣,那么AB是有定義的,而BA沒有定義。因此矩陣乘法是不滿足交換律的。

以下事實(shí)適用于所有大小兼容的A、B和C:

  1. A(BC)=(AB)C
  2. A(A+C)=AB+AC
  3. (B+C)A=BA+CA

能說明矩陣乘法的特性的一個(gè)例子:

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這表明即使AB都不為0AB也可以是0

兩個(gè)矩陣乘積的轉(zhuǎn)置,是它們轉(zhuǎn)置的逆序乘積:

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這個(gè)結(jié)果擴(kuò)展到三個(gè)或更多個(gè)矩陣的乘積。

矩陣乘法提供了一種將方程組寫成緊湊形式的方法。

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上面可以寫成Ax=b。我們將反復(fù)使用這個(gè)表達(dá)。在不明確A的大小的情況下,我們假設(shè)A是m×n,因此x是一個(gè)有n個(gè)元素的向量,b是一個(gè)有m個(gè)元素的向量,盡管在大多數(shù)應(yīng)用中m=n。

矩陣的逆

為了達(dá)到類似的目的,我們引入了矩陣逆的符號(hào)。如果存在一個(gè)方陣B,使AB=I=BA,那么方陣A就是非奇異的,或者說有一個(gè)逆,或者說是可逆的。很明顯,不是所有的矩陣都有逆矩陣。

由于A的逆矩陣只有一個(gè),所以如果AB=I=BA成立,我們稱BA的逆矩陣,并將B寫成A^(-1)。用這種表示法,AB=I=BA可以寫成AA^(-1)=(A^(-1))(A)=I

一個(gè)不可逆的方陣就是一個(gè)A^(-1)不存在的方陣。這樣的矩陣稱為奇異或不可逆矩陣。

如果A是2×2矩陣

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且ad-bc≠0,那么

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定理(5)

假設(shè)A和B都是可逆的。那么

  1. (A^(-1))^(-1)=A
  2. (AB)^(-1)=(B^(-1))(A^(-1))
  3. (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T

定理(6)

假設(shè)A是可逆的。那么Ax=b有且只有一個(gè)解,x=A^(-1)b

結(jié)論(1)

當(dāng)且僅當(dāng)A是奇異陣時(shí),方程組Ax=0有解x≠0。當(dāng)且僅當(dāng)A是可逆的,這個(gè)方程組只有解x=0

行列式

定義與基本定理

A的行列式是一個(gè)只在方陣中定義的標(biāo)量,記作det(A)。它有n的階乘項(xiàng),每一項(xiàng)是A的元素的正負(fù)乘積:

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其中第二個(gè)下標(biāo),由?表示,是數(shù)字{1,2,…,n}之一,其中沒有一個(gè)被使用兩次。指數(shù)k是第二個(gè)下標(biāo)的逆序數(shù)。因此,

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由于數(shù)字{1,2,…,n}的每個(gè)排列都有一項(xiàng),所以上面的和包含n的階乘項(xiàng)。由于這個(gè)原因,實(shí)際上并不使用上面的求和來計(jì)算。如果n=2,定義是容易使用的,

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有兩種常用的det(A)的求值方法。在本節(jié)中,我們將探討最高效的方法。該方法依賴于兩個(gè)基本定理:

定理(7)

如果A是上或下三角矩陣,對(duì)角元素為a_11,a_22,…,a_nn,那么det(A)=(a_11)(a_22)…(a_nn)。

定理(8)

設(shè)A是一個(gè)方陣。

  1. 如果A的兩行元素互換形成B,那么,det(A)=-det(B)
  2. 如果A的一行乘以k得到B,那么kdet(A)=det(B)
  3. 如果A的一行的倍數(shù)加到A的另一行形成B, 那么det(A)=det(B)

這兩個(gè)定理為計(jì)算行列式提供了一種有效的方法。注意,定理8描述了初等行運(yùn)算對(duì)det(A)的影響。

我們可以快速準(zhǔn)確地計(jì)算初等行變換的結(jié)果。所以對(duì)于含有已知常數(shù)項(xiàng)的矩陣,行化成三角矩陣是計(jì)算行列式的首選方法。對(duì)于有參數(shù)項(xiàng)的矩陣,通常使用其他方法。

由于矩陣乘法和行列式的定義復(fù)雜,乘積的行列式行列式的乘積之間存在著一種簡(jiǎn)單的關(guān)系:

定理(9)

如果AB是方陣,det(AB)=det(A)det(B)

如果det(A)=0,那么A一定是奇異的。反之亦然。

定理(10)

det(A)=0是A是奇異的一個(gè)充要條件。

定理(11)

對(duì)于每個(gè)方陣A,det(A)=det(A^T)

余子式與代數(shù)余子式

a_ij的余子式是去掉A的第i行和第j列形成的矩陣的行列式。

a_ij的代數(shù)余子式寫成A_ij,等于余子式乘以 (-1)^(i+j)。代數(shù)余子式的重要性是由于以下的重要定理:

定理(12)

對(duì)于每個(gè)i和j,

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線性獨(dú)立(線性無關(guān))

方程組Ax=0可以有無窮多個(gè)解。為了描述這種系統(tǒng)的所有解的集合,我們必須首先理解線性無關(guān)的概念。

假設(shè)已知k個(gè)向量a_1, a_2,…,a_k和k個(gè)標(biāo)量c_1 ,c_2…,c_k。考慮到表達(dá)式

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不是全部為零如果上面的方程對(duì)某些標(biāo)量成立(不是全部為零),那么向量a_1,a_2,…,a_k就是線性相關(guān)的,標(biāo)量c_1,c_2,…,c_k就叫作權(quán)值。由上式可知

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其中 c_1≠0。上面的方程表明a_1是其他向量的“加權(quán)和”。

如果一個(gè)給定的向量組不是線性相關(guān)的,那么它稱為線性無關(guān)的。由于線性無關(guān)的集合不可能存在依賴關(guān)系

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意味著所有的標(biāo)量系數(shù)必須是零。

一般來說,我們不能輕易判定一個(gè)向量組是否是線性無關(guān)的,也不能輕易求出權(quán)值(如果向量組是線性相關(guān)的)。

但我們可以把上式重寫為矩陣向量的形式,為此,定義一個(gè)矩陣A,它的列是向量a_1,a_2,…,a_k,它的項(xiàng)的權(quán)值是c_1,c_2,…,a_k。因此:

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根據(jù)矩陣乘法的定義:

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因此,當(dāng)且僅當(dāng) Ac=0存在非零解時(shí),矩陣A的列向量才是線性無關(guān)的。那么,c的元素就是權(quán)值。

如果矩陣A是方陣,那么基于線性相關(guān)的行列式的判據(jù)是可能和方便的。基本的思想是:如果A是可逆的,那么推論1,系統(tǒng)Ac+0只有平凡解,因?yàn)?/span>

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證明了c一定是0。下面的定理將det(A)與A的行和列的線性無關(guān)聯(lián)系起來。

定理(13)

當(dāng)且僅當(dāng)det(A)≠0時(shí),n×n矩陣A的行(列)是線性無關(guān)的。

 

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