復數
復數就是形如x+iy的數字，其中x和y是實數，i^2=-1。實數x和y分別稱為z的實部和虛部，表示為：
如果z=x+iy，則z?=x-iy稱為z的復共軛。很容易得出：
定理（1）
對于復數z和w，有以下7個性質：
笛卡爾和指數形式
復數可以繪制在一個矩形網格上，類似于實數對（x，y）被繪制在一個直角坐標系統上。你可以簡單地用一對實數(x,y)來確定復數z=x+iy，并繪制（x，y）。y軸稱為虛軸，x軸稱為實軸。
也可以用極坐標（θ， r）來表示：
定理（2）（很重要）
對于復數z=x+iy，
多項式方程的根
設p_n(x)和q_n(x)為n次多項式，可以假設p_n(x)的形式為：
系數a_i可能不是實數，但在本系列文章中它們總是實數。在任何情況下，代數基本定理表明，方程p_n(x)=0有n個解。
假設x=r是p_n(x)的根。那么：
如果p_n(x)除以x-r，就得到恒等式：
其中R為常數，q_(n-1)(x)為n-1次多項式。因此，
但上面的式子是關于x的恒等式，通過令x=r，我們可以得到r =0當且僅當p_n(r)=0，也就是說，當且僅當r是p_n(x)的根。
定理（3）
對于每一個多項式
存在n個復數r_1， r_2，…，r_n，稱為多項式的根，使得
- P_n (r_i)=0，對于所有i=1，2，…，n
- p_n(x)=(x-r_1)(x-r_2)…(x-r_n)
而且，對于一些i，如果p_n(r)=0，則r=r_i。
定理（4）
假設r=a+ib, b≠0，是下面多項式的根
那r的共軛（ r?=a-ib）也是多項式的一個根。
矩陣表示
矩陣是一組數字的矩形數組。一般來說，矩陣用黑體字大寫字母表示。我們用A來表示p×q矩陣，它的元素是a_ij。也就是
只有一列的矩陣稱為向量。我們用黑體小寫字母來表示向量，這與我們對矩陣的約定一致。A的列向量就是
對于聯立方程組
系數矩陣為
右邊常數用向量b表示：
增廣矩陣B由A和b表示：
未知量用向量x表示：
行數和列數相同的矩陣稱為方陣。方陣的非對角元素是a_ij，其中i≠j。非對角元素都為零的方陣稱為對角陣。
I_n矩陣（其中n是正整數），是所有對角元素都是1的對角矩陣。這些矩陣稱為單位矩陣。所以：
是單位矩陣。I_n的列被賦予特殊的符號e_1，e_2，…，e_n；也就是：
當上下文明確了I_n的大小時，就可以去掉下標n。那些位于對角線以下的非對角線項為零的方陣稱為上三角矩陣（上三角矩陣同理可得）。
我們定義0矩陣O_n為nXn矩陣，它所有的元素都是0。所以O_n也是對角線。
方程組的解
我們可以用消元法來解方程組。注意消去過程很大程度上依賴于每個方程中未知變量的系數。
把方程組的系數和方程組右邊的常數放在一起得到一個增廣矩陣。化簡這個增廣矩陣可以得到方程組的解。注意，當系數矩陣簡化為單位矩陣時，右邊的系數列就是解向量。
從矩陣A到矩陣B的算術步驟叫做初等行運算。這些運算分為三種類型：
- 交換任意兩行。
- 將一行乘以一個非零標量。
- 將一行的α倍添加到另一行的β倍。
這里的關鍵點是初等行運算用另一個方程組替換了一個方程組，后者的解集與前者的解集相同。這種解法稱為高斯消去法。
矩陣代數
設m×n矩陣A和B為：
對于所有的i和j，如果a_ij=b_ij，則A=B。因此，兩個矩陣相等，意味著矩陣相應項相等。
我們現在定義矩陣A+B和矩陣與任意標量k的乘法：
由上面的定義可以得到下列代數規則：
- A+B=B+A
- A+(B+C)=(A+B)+C
- A+O=A
- A+(-1)A=O
- 0A=O
- k(hA)=(kh)A
- k(A+B)=kA+kB
- (k+h)A=kA+hA
用第一列替換第一行，用第二列替換第二行，以此類推，直到所有的列都變成行。由這個交換得到的矩陣稱為原矩陣的轉置，[a_ij]^T=[a_ji]。我們用A^T來表示A的轉置。
一個向量的轉置是一個只有一行的矩陣，有時稱為行向量。為了避免混淆，我們用逗號分隔行向量的各個元素。
請注意，轉置和加法的定義引出了這樣的結論：C=A+B意味著C^T=A^T+B^T。
如果矩陣A等于它自己的轉置，即A^T=A，那么它就是對稱的；如果A^T=-A，那么它是反對稱的。對稱矩陣和反對稱矩陣必須是方陣。
矩陣乘法
如果A是m×q矩陣，元素為a_ij ；B是q×n矩陣，元素為b_ij，那么乘積C=AB是m×n矩陣，c_ij為：
為了使上面的定義有意義，A的每一行必須有和B的每一列有一樣多的元素。這意味著A的列數必須與B的行數相同。
因此，如果A是2×3矩陣, B是3×3矩陣，那么AB是有定義的，而BA沒有定義。因此矩陣乘法是不滿足交換律的。
以下事實適用于所有大小兼容的A、B和C：
- A(BC)=(AB)C
- A(A+C)=AB+AC
- (B+C)A=BA+CA
能說明矩陣乘法的特性的一個例子：
這表明即使A和B都不為0，AB也可以是0。
兩個矩陣乘積的轉置，是它們轉置的逆序乘積：
這個結果擴展到三個或更多個矩陣的乘積。
矩陣乘法提供了一種將方程組寫成緊湊形式的方法。
上面可以寫成Ax=b。我們將反復使用這個表達。在不明確A的大小的情況下，我們假設A是m×n，因此x是一個有n個元素的向量，b是一個有m個元素的向量，盡管在大多數應用中m=n。
矩陣的逆
為了達到類似的目的，我們引入了矩陣逆的符號。如果存在一個方陣B，使AB=I=BA，那么方陣A就是非奇異的，或者說有一個逆，或者說是可逆的。很明顯，不是所有的矩陣都有逆矩陣。
由于A的逆矩陣只有一個，所以如果AB=I=BA成立，我們稱B為A的逆矩陣，并將B寫成A^(-1)。用這種表示法，AB=I=BA可以寫成AA^(-1)=(A^(-1))(A)=I。
一個不可逆的方陣就是一個A^(-1)不存在的方陣。這樣的矩陣稱為奇異或不可逆矩陣。
如果A是2×2矩陣
且ad-bc≠0，那么
定理（5）
假設A和B都是可逆的。那么
- (A^(-1))^(-1)=A
- (AB)^(-1)=(B^(-1))(A^(-1))
- (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T
定理（6）
假設A是可逆的。那么Ax=b有且只有一個解，x=A^(-1)b。
結論（1）
當且僅當A是奇異陣時，方程組Ax=0有解x≠0。當且僅當A是可逆的，這個方程組只有解x=0。
行列式
定義與基本定理
A的行列式是一個只在方陣中定義的標量，記作det(A)。它有n的階乘項，每一項是A的元素的正負乘積：
其中第二個下標，由?表示，是數字{1，2，…，n}之一，其中沒有一個被使用兩次。指數k是第二個下標的逆序數。因此，
由于數字{1，2，…，n}的每個排列都有一項，所以上面的和包含n的階乘項。由于這個原因，實際上并不使用上面的求和來計算。如果n=2，定義是容易使用的，
有兩種常用的det(A)的求值方法。在本節中，我們將探討最高效的方法。該方法依賴于兩個基本定理：
定理（7）
如果A是上或下三角矩陣，對角元素為a_11，a_22，…，a_nn，那么det(A)=(a_11)(a_22)…(a_nn)。
定理（8）
設A是一個方陣。
- 如果A的兩行元素互換形成B，那么，det(A)=-det(B)
- 如果A的一行乘以k得到B，那么kdet(A)=det(B)
- 如果A的一行的倍數加到A的另一行形成B, 那么det(A)=det(B)
這兩個定理為計算行列式提供了一種有效的方法。注意，定理8描述了初等行運算對det(A)的影響。
我們可以快速準確地計算初等行變換的結果。所以對于含有已知常數項的矩陣，行化成三角矩陣是計算行列式的首選方法。對于有參數項的矩陣，通常使用其他方法。
由于矩陣乘法和行列式的定義復雜，乘積的行列式和行列式的乘積之間存在著一種簡單的關系：
定理（9）
如果A和B是方陣，det(AB)=det(A)det(B)
如果det(A)=0，那么A一定是奇異的。反之亦然。
定理（10）
det(A)=0是A是奇異的一個充要條件。
定理（11）
對于每個方陣A，det(A)=det(A^T)
余子式與代數余子式
a_ij的余子式是，去掉A的第i行和第j列形成的矩陣的行列式。
a_ij的代數余子式寫成A_ij，等于余子式乘以 (-1)^(i+j)。代數余子式的重要性是由于以下的重要定理：
定理（12）
對于每個i和j，
線性獨立（線性無關）
方程組Ax=0可以有無窮多個解。為了描述這種系統的所有解的集合，我們必須首先理解線性無關的概念。
假設已知k個向量a_1， a_2，…，a_k和k個標量c_1 ，c_2…，c_k。考慮到表達式
不是全部為零如果上面的方程對某些標量成立（不是全部為零），那么向量a_1，a_2，…，a_k就是線性相關的，標量c_1，c_2，…，c_k就叫作權值。由上式可知
其中 c_1≠0。上面的方程表明a_1是其他向量的“加權和”。
如果一個給定的向量組不是線性相關的，那么它稱為線性無關的。由于線性無關的集合不可能存在依賴關系，
意味著所有的標量系數必須是零。
一般來說，我們不能輕易判定一個向量組是否是線性無關的，也不能輕易求出權值（如果向量組是線性相關的）。
但我們可以把上式重寫為矩陣向量的形式，為此，定義一個矩陣A，它的列是向量a_1，a_2，…，a_k，它的項的權值是c_1，c_2，…，a_k。因此：
根據矩陣乘法的定義：
因此，當且僅當 Ac=0存在非零解時，矩陣A的列向量才是線性無關的。那么，c的元素就是權值。
如果矩陣A是方陣，那么基于線性相關的行列式的判據是可能和方便的。基本的思想是：如果A是可逆的，那么推論1，系統Ac+0只有平凡解，因為
證明了c一定是0。下面的定理將det(A)與A的行和列的線性無關聯系起來。
定理（13）
當且僅當det(A)≠0時，n×n矩陣A的行(列)是線性無關的。
